Ejercicio 2.27 de Rudin en Principios de Análisis Matemático: ¿Por qué son contables muchos puntos de $E$ no en el conjunto perfecto $P$ ?

Question

Este es el teorema que hay que demostrar:

Supongamos que $E \subset \mathbb{R}^k$ , $E$ es incontable, y $P$ es el conjunto de puntos de condensación de $E$ . Demostrar que $P$ es perfecto y que hay a lo sumo un número contable de puntos en $E$ que no están en $P$ .

Intenté demostrarlo de la siguiente manera:

Dejemos que $p\in \mathbb{R}^k$ sea un punto límite de $P$ , entonces para algunos $\delta \gt 0, N_\delta(p)$ contiene $y\ne x$ tal que $y\in P$ . Sea $r=\frac{1}{2} \min (d(p,y), \delta-d(p,y))$ . Tenemos $N_r(y)\subset N_\delta (p)\implies N_r(y) $ contiene incontables puntos de $E$ (como $y$ es el punto de condensación) $\implies N_\delta (p)$ contiene incontables puntos de $E\implies p$ es un punto de condensación de $E$ . Así que $p\in P$ . Por lo tanto, $P$ está cerrado. $\tag{1}$

Dejemos que $p\in P$ sea un punto aislado de $P$ . $\exists\delta \gt 0: N_\delta (p)\cap P=\{p\}$ . Desde $p\in P$ tenemos que $N_\delta (p)\cap E$ es incontable.
Supongamos que $N_\delta (p)$ no contiene ningún otro punto de condensación de $E$ excepto $p$ .
Entonces, para cada $y\in N_\delta (p)-\{p\},\exists r\gt 0: N_r (y)$ es como máximo contable para cada $y\in N_\delta (p)-\{p\}$ .
Tenemos $N_\delta (p)\subset (\cup_{y\in N_\delta (p)-\{p\}} N_r(y))\cup\{p\}$ por lo que se deduce que $ E\cap N_\delta (p)\subset (E\cap \{p\})\cap_{y\in N_\delta (p)-\{p\}} (E\cap N_r(y)\subset E\cap N_r(y)$ para algunos $y\in N_\delta (p)-\{p\}$ . Por lo tanto, $ N_\delta(p)$ es como máximo contable, lo cual es una contradicción. Por lo tanto, todos los puntos de $P$ son puntos límite de $P$ . $\tag{2}$
Por $(1)$ y $(2), P$ es perfecto.

Me quedé atascado al probar la segunda parte de esta pregunta.
Intenté utilizar la pista proporcionada en el ejercicio: "Que $\{V_n\}$ sea una base contable de $\mathbb R^k$ , dejemos que $W$ sea la unión de los $V_n$ para lo cual $E\cap V_n$ es como máximo contable y demostrar que $P=W^c$ ."

Entiendo que desde $\mathbb R^k$ es separable, debe tener una base contable. No sé cómo continuar utilizando la pista. Tampoco entiendo por qué tal $W$ existe. ¿Puede la existencia de tal $W$ ¿se puede probar?

Por favor, ayuda. Gracias.

Answer 1

En su prueba de que $P$ está cerrado hay que decir que para cada $\delta>0$ la nbhd $N_\delta(p)$ contiene un punto de $P\setminus\{p\}$ , no sólo algunos $\delta>0$ de lo contrario no se puede concluir que $p\in P$ . Por lo demás, esa prueba es correcta, aunque también se podría dejar simplemente $r=\delta-d(p,y)$ que sigue asegurando que $N_r(y)\subseteq N_\delta(p)$ . Sin embargo, es más sencillo demostrar que $\Bbb R^k\setminus P$ está abierto. Si $x\in\Bbb R^k\setminus P$ Hay un $\epsilon>0$ tal que $N_\epsilon(x)\cap E$ es contable. $N_\epsilon(x)$ es un nbhd abierto de cada uno de sus puntos, por lo que cada punto de $N_\epsilon(x)$ tiene un nbhd abierto que contiene sólo un número contable de puntos de $E$ y, por lo tanto, ningún punto de $N_\epsilon(x)$ es un punto de condensación de $E$ En otras palabras, $N_\epsilon(x)\cap P=\varnothing$ . Desde $x\in\Bbb R^k\setminus P$ era arbitraria, se deduce que $\Bbb R^k\setminus P$ es abierto y, por tanto, que $P$ está cerrado.

Su argumento para demostrar que $P$ no tiene puntos aislados, sin embargo, no es correcto: de alguna manera se convirtió

$$E\cap\bigcup_{y\in N_\delta(p)\setminus\{p\}}N_r(y)$$

en

$$\bigcap_{y\in N_\delta(p)\setminus\{p\}}\big(E\cap N_r(y)\big)\,,$$

y los dos conjuntos no son definitivamente iguales en general. También debo señalar que no se puede utilizar el mismo $r$ por cada $y\in N_\delta(p)\setminus\{p\}$ : necesita indexar el $r$ s por $y$ por ejemplo, como $r(y)$ o $r_y$ ya que cada punto $y$ puede requerir un $r$ .

La forma más fácil de demostrar que $P$ no tiene puntos aislados es utilizar la misma idea que se utiliza para demostrar que $E\setminus P$ es contable. (Nota: Utilizo contable en su sentido más habitual de finito o contablemente infinito .) Sea $\mathscr{B}=\{B_n:n\in\Bbb N\}$ sea una base contable para $\Bbb R^k$ . Supongamos que $p$ es un punto aislado de $P$ entonces hay un $m\in\Bbb N$ tal que $B_m\cap P=\{p\}$ . Así, para cada $x\in B_m\setminus\{p\}$ hay un $B_{n(x)}\in\mathscr{B}$ tal que $x\in B_{n(x)}\subseteq B_m$ y $B_{n(x)}\cap E$ es contable. Sea $N=\big\{n(x):x\in B_m\setminus\{p\}\big\}$ Entonces $N$ es contable, ya que es un subconjunto de $\Bbb N$ y

$$E\cap\big(B_m\setminus\{p\}\big)=\bigcup_{x\in B_m\setminus\{p\}}(E\cap B_{n(x)})=\bigcup_{n\in N}(E\cap B_n)\,.$$

Esta última unión es la unión de un número contable de conjuntos, por lo que es contable. Por lo tanto, $B_m$ es un nbhd abierto de $p$ que sólo contiene un número contable de puntos de $E$ contradiciendo la suposición de que $p\in P$ . De ello se desprende que $P$ no tiene puntos aislados.

Se utiliza exactamente la misma idea para demostrar que $E\setminus P$ es contable. Sea

$$N=\{n\in\Bbb N:E\cap B_n\text{ is countable}\}\,,$$

y que $W=\bigcup\limits_{n\in N}B_n$ . Claramente

$$E\cap W=E\cap\bigcup_{n\in N}B_n=\bigcup_{n\in N}(E\cap B_n)$$

es la unión de un número contable de conjuntos, por lo que $E\cap W$ es contable. También está claro que $W\cap P=\varnothing$ : si $x\in W$ , $W$ es un nbhd abierto de $x$ que sólo contiene un número contable de puntos de $E$ Así que $x$ no es un punto de condensación de $E$ .

Por último, supongamos que $x\in\Bbb R^k\setminus W$ y que $U$ sea cualquier nbhd abierto de $x$ . $\mathscr{B}$ es una base para $\Bbb R^k$ , por lo que hay un $m\in\Bbb N$ tal que $x\in B_m\subseteq U$ . Para cada $n\in N$ tenemos $B_n\subseteq W$ y $x\in B_m\setminus W$ Así que $m\notin N$ . Según la definición de $N$ esto significa que $E\cap B_m$ es incontable, y por lo tanto $E\cap U$ es incontable (ya que $B_m\subseteq U$ ). Así, $x\in P$ y por lo tanto $\Bbb R^k\setminus W\subseteq P$ es decir, $W\cup P=\Bbb R^k$ . Ya vimos que $W$ y $P$ son disjuntos, por lo que deben ser complementarios: $P=\Bbb R^k\setminus W$ y por lo tanto $E\setminus P=E\cap W$ que ya hemos demostrado que es contable.

Nótese, por cierto, que este argumento también demuestra directamente que $P$ es cerrado, ya que es el complemento de un conjunto abierto.