Análisis numérico Interpolación de $f(x) , f'(x) $

Question

Hay un problema que me resulta bastante difícil de resolver, agradecería que alguien me indicara la solución:

Queremos interpolar la función $f(x)$ y su derivado $f'(x)$ s.t $f(x_0)=P_2(x_0), f'(x_1)=P_2'(x_1 )$ y $f(x_2)=P_2(x_2 )$

Suponiendo que $x_0 \ne x_2 $ demostrar que existe una y sólo una $P_2(x)$ si $x_1\ne (x_0+x_1)/2$

Mencionaría que representando a $P_2(x)$ en el formulario estándar se recomienda.

Answer 1

Algunas pistas:

Dejemos que $P_2(x) := ax^2 + bx + c$ entonces tenemos $P_2'(x) = 2ax + b$ . Así que para $x_0 \neq x_2$ :

\begin{align} \begin{bmatrix} x_0^2 & x_0 & 1 \\ 2x_1 & 1 & 0 \\ x_2^2 & x_2 & 1\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a \\ b\\ c \\ \fin{bmatriz} = \begin{bmatrix} f(x_0) \\ f'(x_1)\\ f(x_2) \\ \end{bmatrix} \end{align} Tenemos \begin{align} \det \begin{bmatrix} x_0^2 & x_0 & 1 \\ 2x_1 & 1 & 0 \\ x_2^2 & x_2 & 1\ \end{bmatrix} = x_0^2 - 2x_0x_1 + 2x_1x_2 - x_2^2 \end {align} Así que para $x_1= \frac{x_0+x_2}{2}$ : \begin{align} x_0^2 - 2x_0x_1 + 2x_1x_2 - x_2^2 = x_0^2 - x_0^2 - x_0x_2 + x_2x_0 + x_2^2 - x_2^2 = 0 \end{align} Lo que significa que para $x_1= \frac{x_0+x_2}{2}$ no hay solución para su problema de interpolación.