Pregunta sobre el intervalo abierto con una expansión decimal finita

Question

Dejemos que $Y$ denotan el conjunto de números en $(0, 1)$ con una expansión decimal que sólo contiene $0$ s y $1$ s, y sólo un número finito de $0$ s. Decida si cree que $Y$ es contablemente infinito o incontable - lo prometo, $Y$ es infinito.

Entiendo que el intervalo abierto $(0,1)$ es incontable y tiene la prueba de ello.

1. Me confunde lo que la pregunta original está pidiendo en términos de la "expansión decimal que contiene sólo $0$ s y $1$ s". ¿Significa esto números tales que $0.x_1x_2x_3\dotso x_n$ tal que $n$ sólo puede ser un $0$ o un $1$ ? Así, por ejemplo, $0.11$ y $0.101$ estaría bien pero no $0.21$ (como ejemplo)?
2. ¿Tener esta expansión decimal cambia el hecho de que el intervalo abierto sea incontable? Porque si fuera contable, entonces deberíamos ser capaces de enumerar todos sus elementos sin que haya una doble enumeración. Estoy confundido en cuanto a si es o no el caso.

Answer 1

Si sólo hay un número finito de ceros en cada expansión, entonces cada número de la lista es un número racional. Por lo tanto, la lista será contablemente infinita.

Answer 2

1. Creo que la pregunta está afirmando que cada uno de los dígitos de la expansión decimal (potencialmente infinita) sólo puede ser un $0$ o un $1$ . Afirma que sólo debe haber un número finito de $0$ s, por lo que, como señala Arturo Magidin, tus dos ejemplos no son válidos. Algo más parecido a $0.10001 \dots$ , $0.01111 \dots$ o $0.010101111 \dots$ funcionaría.

2. Se le pregunta por un subconjunto de $(0,1)$ por lo que, dado que este intervalo es incontable, el subconjunto puede ser incontable o contable. Por ejemplo, $\mathbb{R}$ es contable. $(0,1) \in \mathbb{R}$ es incontable, pero $\mathbb{N} \in \mathbb{R}$ es contable. Es cierto que un conjunto es contable si podemos "enumerar sus elementos". Formalmente un conjunto $A$ es contable si y sólo si existe una biyección (función uno a uno) $f: \mathbb{N} \to A$ , o de forma equivalente, $f: A \to \mathbb{N}$ entre los números naturales y el conjunto. Estas dos definiciones son equivalentes, ya que una enumeración puede ser considerada como un mapeo de los naturales a los elementos del conjunto.

En cuanto a la pregunta real: como sólo podemos tener un número finito de $0$ s en la expansión, nos vemos obligados a tener un rastro infinito de $1$ s al final. Si no tuviéramos este rastro infinito entonces nuestra expansión terminaría y esto sería lo mismo que tener un rastro infinito de $0$ s, lo que claramente no está permitido.

Si ahora suponemos que cada expansión de nuestro conjunto debe terminar en una secuencia infinita de $1$ s, entonces sólo podemos considerar las expansiones decimales que podemos "pegar al frente" de este rastro de $1$ s y tratar de enumerarlas. Así que ahora estamos considerando el conjunto de todas las expansiones decimales que terminan en $(0,1)$ que sólo contiene $0$ s y $1$ s. Conjeturaré que este conjunto es contable basándome en el hecho de que toda expansión binaria finita es racional, y los racionales son contables. Pruebe usted mismo y vea si puede enumerar sus elementos de forma sistemática, o argumentar que es equivalente a algún conjunto incontable.

Answer 3

Dejemos que $(x_n)$ sea una secuencia formada por $0$ s, y $1$ s, con un número finito de $0$ s.

Dejemos que $U_m:=$ { $(x_n)| x_n =1$ para $n \ge m$ }, $m \ge 0$ .

$U_m$ es finito.

$\bigcup_{m} U_m$ como una unión contable de conjuntos finitos es contable.