¿Cómo puedo probar los dos últimos dígitos de $$1+2^{2^{n}}+3^{2^n}+4^{2^n}$$ son $54$ cuando $n$ es un número entero positivo si $n>1$
Respuestas
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David
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6
La respuesta de Alonso del Arte es buena, pero se puede hacer esto casi sin cálculos :
Le interesa $n>1$ . Así que se puede decir, para $n\ge 0$ equivale a : $$\phi(n)=1^{2^n}+16^{2^n}+81^{2^n}+256^{2^n}$$
$100=2^2.5^2$ , por lo que se puede descomponer el problema en módulo 4 y en módulo 25.
- Modulo $4$ , $1\equiv81\equiv1[4]$ y $16\equiv256\equiv0[4]$ . Así que $$\phi(n)\equiv2[4]$$
- Módulo 25, $16^2\equiv 6[25]$ , $6^2\equiv11[25]$ , $11^2\equiv21[25]$ , $21^2\equiv16[25]$ (todos podéis calcular mentalmente, y recordar, $21\equiv -4[25]$ ). La parte fácil viene del hecho de que $81\equiv256\equiv6[25]$ . Así que cada término tiene el mismo período de 4 valores (16,6,11,21). Usted puede comprobar que cada vez, la suma será 4 (para el primero, $1+16+6+6\equiv 4[25]$ , por ejemplo) $$\phi(n)\equiv 4[25] $$
Ahora, sólo hay un número que verifica ambas igualdades módulo 100, es el 54, gracias al Teorema del resto chino .
Estas cosas van en ciclos con períodos de duración $4$ .
Los dos últimos dígitos de $4^{2^n}$ son $16$ , $56$ , $36$ o $96$ .
Para $n > 4$ los dos últimos dígitos de $3^{2^n}$ son $41$ , $81$ , $61$ o $21$ .
Para $n > 4$ los dos últimos dígitos de $2^{2^n}$ son $96$ , $16$ , $56$ o $36$ .
A continuación, observe que $16 + 41 + 96 + 1 = 154$ y, por lo tanto, si $n > 4$ y $n \equiv 1 \pmod 4$ entonces $4^{2^n} + 3^{2^n} + 2^{2^n} + 1 \equiv 54 \pmod{100}$ . Deberías ser capaz de calcular $n \equiv 2 \pmod 4$ y los otros casos usted mismo.
Bill Thomas
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Puedes probarlo demostrando que las dos últimas bases $10$ dígitos de $2^{2^n}(2^{2^n} + 1)$ y $3^{2^n}$ convertirse en pasado periódico $n = 1$ y que la duración de ese período es $4$ . (Por cierto, me molestaba que $2$ y $4$ no son coprimas, así que intenté ver si había una expresión más sencilla para $4^{2^n} + 2^{2^n}$ pero no pude encontrarlo).
El periodo para $4^{2^n} + 2^{2^n}$ es $\{72, 92, 32, 12\}$ . El periodo para $3^{2^n}$ es $\{81, 61, 21, 41\}$ . Sumando estas dos secuencias obtenemos $\{153, 153, 53, 53\}$ .
