Tengo algunas preguntas relacionadas con una distribución mixta de una masa puntual y una distribución continua. Más concretamente, dejemos que $X$ sea una variable aleatoria con dos componentes: una componente degenerada $X_d$ y un componente continuo $X_c$ , donde $X=X_d$ con probabilidad $p$ y $X=X_c$ con probabilidad $1-p$ . La ubicación de la componente degenerada es conocida, es decir $P(X_d=a)=1$ para algunos $a$ . Algunos documentos que he leído dicen que la densidad de $X$ se da $f(x)=p\delta_a(x)+ (1-p) f_c(x)$ . Aquí $\delta_a$ es la función delta de Dirac en $a$ y $f_c$ es la densidad de $X_c$ . ¿Cómo demostrar la igualdad? ¿Podemos concluir que $f(x)=(1-p)f_c(x)$ para $x\ne a$ ? (En mi intuición, creo que esto puede no ser correcto ya que $\delta_a$ no es realmente una función)
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
A.G.
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Para este caso es más fácil trabajar con funciones de distribución acumulativa. Empezando por $$ F(x)=P(X\leq x)=p\,P(X_d\leq x)+(1-p)\, P(X_c\leq x). $$ Utilización de la función escalonada $\Delta(x)=0$ si $x<a$ y $1$ si $x\geq a$ , se obtiene $$ F(x)=p\,\Delta(x)+ (1-p)\,F_c(x). $$ Si la segunda distribución es continua, entonces $F'$ existe para todos los puntos, pero $a$ y $$ F'(x)=p\,\Delta'(x)+ (1-p)\,F_c'(x)=(1-p)\, f_c(x)\quad (\text{for }x\neq a). $$ Con muchos granos de sal, esto se puede "entender" como $f(x)=(1-p)\,f_c(x)$ .
