¿Cómo $\mathbb Z$ y $\mathbb Z^+$ tienen la misma cardinalidad?

Question

El libro "First Course in Abstract Algebra" de John Fraleigh dice que $\mathbb Z$ y $\mathbb Z^+$ tienen la misma cardinalidad.

Define el emparejamiento así

1 <-> 0
2 <-> -1
3 <-> 1
4 <-> -2
5 <-> 2
6 <-> -3

y así sucesivamente.

¿Cómo es exactamente la misma cardinalidad? ¿Está utilizando el hecho de que ambos son conjuntos infinitos para decir que tienen la misma cardinalidad? ¿Significa eso que todos los conjuntos infinitos tienen la misma cardinalidad?

Answer 1

Hay que centrarse en el definición de que tienen la misma cardinalidad . Por definición, dos conjuntos $A$ y $B$ tienen la misma cardinalidad si existe una función $f: A \to B$ que es biyectiva (ver los enlaces para más información).

Entonces, $\mathbb{Z}$ y $\mathbb{Z}^+$ tienen la misma cardinalidad ya que existe una biyección entre ellas. La que has citado, es sólo una posible biyección entre muchos, que pueden caracterizarse como sigue:

\begin{align*} & f: \mathbb{Z}^+ \to \mathbb{Z},\\ f(x) = & \ \begin{cases} \frac{x-1}{2} & \text{ if $x$ is odd;} \\ - \frac{x}{2} & \text{ if $x$ is even.} \end{cases} \end{align*}

Answer 2

Dos juegos $A,B$ tienen la misma cardinalidad si existe una biyección $f : A \to B$ .

En este caso, el emparejamiento es una forma de describir la biyección $f : \mathbb Z^+ \to \mathbb Z$ :

$$f(n)=\begin{cases} \frac{n-1}{2} & \text{ if n is odd}\\ - \frac{n}{2} & \text{ if n is even} \end{cases}$$

En cuanto a su segunda pregunta, la respuesta es negativa. No todos los conjuntos tienen la misma cardinalidad. Se puede demostrar que para un conjunto $A$ el conjunto de energía $\mathcal P(A)$ no tiene la misma cardinalidad que $A$ . Puede encontrar una inyección de $A$ en $\mathcal P(A)$ pero lo contrario no es posible.

Por ejemplo, la cardinalidad de $\mathbb R$ es mayor que el de $\mathbb N$ .