Desigualdad de Cauchy-Schwarz con productos

Question

Pregunta
Para todos $K\ge2$ , $a^1_j$ ,..., $a^K_j$ $\in\mathbb{R}$ , $j\in\mathbb{N}$ entonces: $$\sum_{j\in\mathbb{N}} a^1_j ...a^K_j \leq\prod^K_{i=1}\left(\sum_{j\in\mathbb{N}}|a^i_j|^2\right)^{1/2}$$

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Así que me sale esta pregunta de los deberes y he intentado utilizar la Inducción para demostrarla; la desigualdad parece bien con $K=2$ (CS-Inequality). Sin embargo, no puedo ir más allá con $k>2$ y para ser sincero, sospecho que esta pregunta no es cierta... ¿Puede alguien darme una pista?
Gracias

Answer 1

Pista: Intenta usar la inducción y obtener la expresión en el paso inductivo intermedio en la forma de la desigualdad de Cauchy-Schwarz.

Como han observado, la desigualdad para $K=2$ se mantiene utilizando la desigualdad de Cauchy-Schwarz. Supongamos que se cumple para $K-1$ (y queremos demostrarlo para $K$ ). Entonces,

$$\begin{align*} \prod_{i=1}^K \left( \sum_{j\in\mathbb{N}} |a_j^i|^2 \right)^{1/2} &\geq \left( \sum_{j\in\mathbb{N}} |a_j^1 a_j^2\cdots a_j^{K-1}| \right) \left( \sum_{j\in\mathbb{N}} |a_j^K|^2 \right)^{1/2} \\ &\geq \left( \sum_{j\in\mathbb{N}} |a_j^1 a_j^2\cdots a_j^{K-1}|^2 \right)^{1/2} \left( \sum_{j\in\mathbb{N}} |a_j^K|^2 \right)^{1/2} \\ &\geq \sum_{j\in\mathbb{N}} |a_j^1a_j^2\cdots a_j^K|, \end{align*}$$ donde la última desigualdad utiliza la desigualdad de Cauchy-Schwarz y la segunda se demuestra fácilmente.