Gráfico del operador adjunto

Question

Dejemos que $T$ sea un operador en $H$ con dominio $D(T)$ . Entonces el gráfico $G(T^∗)$ de $T^∗$ se puede caracterizar por $G(T^∗)={V(G(T))}^⊥$ , donde $V$ es el operador unitario definido en $H × H$ por $V {u, v} = {v, −u}$ . ¿Puede alguien probar esto, por favor?

Answer 1

Para cualquier $u ∈ D(T)$ y $(v,w^∗) ∈ H×H$ tenemos la identidad:

$⟨V(u,Tu),(v,w^∗)⟩H×H =⟨Tu,v⟩H−⟨u,w∗⟩H$ . El lado derecho desaparece para todo $u ∈ D(T)$ si $v ∈ D(T^∗)$ y $w^∗ = T^∗v$ es decir, si $(v, w^∗)$ pertenece a $G(T^ ∗)$ . El lado izquierdo desaparece para todo $u ∈ D(T )$ si $(v, w^∗)$ pertenece a $V (G(T ))^⊥$ . El análisis hilbertiano estándar, utilizando la continuidad de $V$ y $V ^{−1}$ = $−V$ , entonces muestra que ${V(G(T))}^⊥ ={V(G(T))}^⊥ ={V(G(T))}^⊥$ .

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Fin de la prueba: No hemos analizado hasta ahora bajo qué condición el do- principal del adjunto es denso en $H$ .