Comprender la prueba de que $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\otimes\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\cong \mathbb{Z}/d\mathbb{Z}$

Question

Estoy leyendo un ejemplo en Dummit y Foote que muestra que $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\otimes\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\cong \mathbb{Z}/d\mathbb{Z}$ , donde $d$ es el máximo común divisor de $n$ y $m$ pero tengo problemas para entender una línea. Tenemos que $m(1\otimes 1)=m\otimes 1=0$ , y de forma similar $n(1\otimes 1)=(1\otimes n)=0$ . La siguiente línea afirma que, debido a esto, tenemos $d(1\otimes 1)=0$ también. ¿Por qué es así?

Answer 1

Existen $s,t\in\mathbb{Z}$ tal que $sm+tn=d$ . Así que $$d(1\otimes 1)=(sm+tn)(1\otimes 1)=sm(1\otimes 1)+tn(1\otimes 1)=s\cdot 0+t\cdot 0=0.$$