Demostrando que $\mathbb{Q}$ adjuntar la raíz cuadrada de cada primo es una extensión infinita

Question

¿Cómo se puede demostrar que $[\mathbb{Q}(\sqrt2, \sqrt3,...,\sqrt{p_n},...)]=\infty$ ? Sé que queremos demostrar que no hay una base finita sobre los racionales, pero no estoy seguro de cómo se puede determinar que tal base no existe.

Answer 1

La teoría de Kummer nos dice que como $ 2$ , $3,\ldots,{p_n}$ generan un subgrupo de orden $2^n$ en $\Bbb Q^*/(\Bbb Q^*)^2$ entonces el campo de extensión $K_n=\Bbb Q(\sqrt2,\ldots,\sqrt {p_n})$ tiene grado $2^n$ en $\Bbb Q$ . Así que su campo contiene subcampos de grado arbitrariamente grande sobre $\Bbb Q$ .