¿Es éste un ejemplo de un morfismo en la categoría de conjuntos puntuales?

Question

Dejemos que $S = (\{1,4,5,9,14,19,24\}, 19)$ .

Dejemos que $T = (\{1,4,5,9,14,19,24\}, 1)$ .

Definir el morfismo $f: S \to T$ de la siguiente manera:

$$f(n) = \left\{\begin{array}{lr} n , & \text{when } n \notin \{1,19\} \\ 1 , & \text{when } n = 19 \\ 19, & \text{when } n = 1 \end{array}\right\}$$

Creo que sí, pero sospecho que hay una forma mejor de expresar $f$ utilizando una notación más "centrada en la categoría". No es un automorfismo, pero ¿tiene un nombre?

Answer 1

¿Por qué no iba a serlo?

En la categoría de conjuntos puntuales los morfismos son simplemente funciones $f: (X,x) \to (Y,y)$ donde $f :X \to Y$ y $f(x) = y$ . Su función está bien definida y mapea $x$ a $y$ de hecho. Además, su morfismo es una biyección y por lo tanto es un isomorfismo. Nótese que si $x \neq y$ entonces los objetos $(X,x)$ , $(X,y)$ no son iguales. De hecho, has demostrado que son isomorfos.