Dominio de la holomorfía

Question

He encontrado la siguiente definición de dominio de holomorfia en varios lugares.

Def1: Un conjunto abierto conectado $\Omega$ en el espacio complejo n-dimensional ${\mathbb{C}}^n$ se llama dominio de holomorfía si no existen conjuntos abiertos no vacíos $U \subset \Omega$ y $V \subset {\mathbb{C}}^n$ donde $V$ está conectado, $V \not\subset \Omega$ y $U \subset \Omega \cap V$ tal que para toda función holomorfa $f$ en $\Omega$ existe una función holomorfa $g$ en $V$ con $f = g$ en $U$ .

Por lo que entiendo, intuitivamente hablando, $\Omega$ es un dominio de holomorfía si podemos encontrar una función $g$ que es holomorfa en $\Omega$ de manera que no pueda extenderse más allá de los límites de $\Omega$ . Pensando ingenuamente, habría escrito la siguiente definición para el dominio de la holomorfía.

Def2: Un conjunto abierto conectado $\Omega\subset \mathbb{C}^n$ es un dominio de holomorfía si existe un $g$ que es homológo en $\Omega$ tal para que cualquier abierto $V\subset \mathbb{C}^n$ con $V\cap \partial\Omega\neq\phi$ no hay ninguna función holomórfica $F$ en $V$ con $F\vert_{V\cap\Omega}=g\vert_{V\cap\Omega}$ .

Podría alguien explicarme la necesidad de la definición más complicada 1.

Answer 1

Citando a Steven Krantz, Function Theory of Several Complex Variables, p. 6: la definición de dominio de holomorfía es complicada porque debemos permitir la posibilidad (cuando se trata de un conjunto abierto arbitrario $U$ en lugar de un dominio suave $\Omega$ ) que $\partial U$ puede intersectarse a sí mismo.

Imagínate un cigarro, y luego dóblalo para hacer un collar, haciendo que los dos extremos se toquen. El interior de ese conjunto es un conjunto abierto cuyo límite, por así decirlo, se toca a sí mismo.

Answer 2

Además de la respuesta de Ben, puede ser útil imaginar la situación en $\mathbb{C}$ . (Por supuesto, en $\mathbb{C}$ todo dominio es un dominio de holomorfía, pero podemos seguir exhibiendo el mismo fenómeno que nos hace necesitar la definición más complicada).

La rama principal del logaritmo $f := \operatorname{Log}$ se define en el plano de la rendija $\Omega :=\mathbb{C}\setminus (-\infty,0]$ . La función $f$ no se extiende holomórficamente, ni siquiera de forma continua, a ningún punto de $(-\infty,0]$ .

Sin embargo, dejemos $x\in (\infty,0)$ , set $\delta := -x$ y considerar el disco $V := D(x,\delta)$ y el medio disco $$ U := \{z\in V: \operatorname{Im} z > 0\}.$$

Entonces la restricción de $f$ a $U$ se extiende analíticamente a una función holomorfa $g$ en $V$ , donde $g(z)=f(z)$ si $z\in U$ , $g(z) = \log(-z)+i\pi$ si $z$ pertenece al diámetro $(2x,0)$ de $V$ y $g(z)=\operatorname{Log}(z) + 2\pi i$ de lo contrario.

La cuestión es que el plano de la rendija no es un dominio máximo "natural" de definición para la función $\operatorname{Log}$ . (Si buscáramos un dominio de este tipo, sería una superficie de Riemann en espiral extendida sobre el plano perforado...) En otras palabras, supongamos que tenemos un dominio de holomorfía para alguna función analítica, pero sólo conocemos el germen de esta función en algún punto. Entonces puedes reconstruir el dominio de forma única como el dominio máximo al que se puede continuar analíticamente el germen.

Por supuesto, lo interesante es que hay dominios que son no dominios de holomorfía, cuando $n\geq 2$ .