Que X tenga la distribución uniforme sobre $ (-1,3)$ . Encuentre el Pdf de $Y=X^2$ .
Utilizo la técnica CDF. $$F_Y(y)=P(Y \leq y)=P(u(X) \leq y)= P(x^2 \leq y)=X^2$$ . Luego diferencio y resuelvo para el PDF. ¿Estoy haciendo bien los pasos?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
En primer lugar, la fdc de X es
$$F_X(x)=\begin{cases} 0, \ x<-1 \\ \frac14 x+\frac14, \ -1\leq x \leq 3 \\ 1, \ x>3 \end{cases}$$
Ahora lo dividimos en dos casos:
Primer caso: $x\in [-1,1) \Rightarrow y\in [0,1)$
Tenemos $x=y^{1/2} $ para $x\in [0,1)$ y $x=-y^{1/2}$ para $x\in [-1,0)$
Segundo caso: $x\in [1 ,3] \Rightarrow y\in [1,9]$
$\texttt{First case:}$
$$F_Y (y) = P(Y ≤ y) = P(X^2 ≤ y) = P(−y^{1/2} ≤ X ≤y^{1/2})$$
Aquí puedes ver la simetría de los límites para X.
$$= P(X ≤ y^{1/2}) − P(X ≤ −y^{1/2}) = F_X(y^{1/2}) − F_X(−y^{1/2})$$ .
La fdc de $Y$ es
$$F_Y(y)=F_X\left(y^{1/2}\right)-F_X\left(-y^{1/2}\right)=\frac14 \sqrt y+\frac14-\left(\frac14 (-\sqrt y)+\frac14 \right)=\frac12y^{1/2}$$
$\texttt{Second case:}$
Aquí $X$ es positivo y $Y$ también es positivo. Por lo tanto,
$$F_Y(y)=F(X^2<y)=F(X\leq y^{1/2})$$
$$F_Y(y)=\frac14 \cdot y^{1/2}+\frac14=\frac14\cdot y^{1/2}+\frac14$$
Finalmente se diferencia para obtener el pdf.
Math1000
Puntos
8099
Desde $X$ toma valores en $(-1,3)$ y $x\mapsto x^2$ es una función continua, por el teorema del valor intermedio $Y=X^2$ toma valores en $(0,9)$ . Ahora, para $0<t<1$ tenemos $$ \mathbb P(Y\leqslant t) = \mathbb P(-\sqrt t\leqslant X\leqslant \sqrt t) = \int_{-\sqrt t}^{\sqrt t} \frac 14\ \mathsf ds = \frac{\sqrt t}2 $$ y para $1<t<9$ tenemos $$ \mathbb P(Y\leqslant t) = \mathbb P(Y\leqslant 1) + \mathbb P(1\leqslant Y\leqslant t) = \frac12 + \int_1^{\sqrt t}\frac 14\ \mathsf ds = \frac{1}{4} \left(\sqrt{t}+1\right). $$ Por lo tanto, $$ F_Y(t) = \frac{\sqrt t}2\mathsf 1_{[0,1)}(t) + \frac14(\sqrt t+1)\mathsf 1_{[1,9)}(t) + \mathsf 1_{[9,\infty)}(t), $$ y diferenciando se obtiene la densidad: $$ f_Y(t) = \frac1{4\sqrt t}\mathsf 1_{(0,1)}(t) + \frac{1}{8 \sqrt{t}}\mathsf 1_{(1,9)}(t). $$
