Demostrando que la unión de las cartas dadas es todo el colector

Question

Dejemos que $G(n,k)$ sea el conjunto de todos los $k$ - subespacios lineales dimensionales de $\mathbb{R}^n$ . Sea $U_I$ sea el conjunto de todos los subespacios de $\mathbb{R}^n$ con una base $a_1, \cdots, a_k$ tal que $a_i=e_i + x_{i,1}\cdot e_{k+1}+\cdots +x_{i,n-k}\cdot e_{n}$ , donde $x_{ij} \in \mathbb{R}$ y $e_j$ es la base estándar de $\mathbb{R}^n$ . $I$ recorre el conjunto de todos los subconjuntos $I \subset \{1,\cdots,n\}, \#I=k$ .

Dejemos que $x_I(A)=(x_{ij}, i = 1,\cdots,n; j=1,\cdots,n-k)\in \mathbb{R}^{n(n-k)}$ . Demostrar que $\{(U_I, \mathbb{R}^{n(n-k)} ,x_I)\}$ es un atlas en $G(n,k)$ .

Ahora, para empezar a demostrar que la colección dada es un atlas, el primer paso sería mostrar que $\bigcup_IU_I=G(n,k)$ . Claramente, $\bigcup_IU_I\subseteq G(n,k)$ .

Para demostrarlo, $G(n,k) \subseteq \bigcup_IU_I$ necesitamos demostrar que cualquier $k$ - subespacio dimensional $A$ puede tener una base de la forma $b_i = e_i + x_{i,1}\cdot e_{k+1}+\cdots +x_{i,n-k}\cdot e_{n}$ , donde $i=1,\cdots,k$ ; $x_{ij} \in \mathbb{R}$ y $e_j$ es la base estándar de $\mathbb{R}^n$ . ¿Cómo puedo demostrarlo sin saber qué $A$ ¿parece?

Answer 1

Sugerencia Interpretando la definición de forma más geométrica, $U_I$ consiste en los subespacios que son la gráfica de alguna función $\mathbb R^k \to \mathbb R^{n - k}$ donde identificamos $\mathbb R^k$ con $\langle e_i : i \in I\rangle$ y $\mathbb R^{n - k}$ con $\langle e_j : j \not\in I\rangle$ .