Una prueba de que la continuidad de $f:X\to Y$ equivale a $\overline{f^{-1}(M)}\subset f^{-1}(\overline{M})$ .

Question

Dados dos espacios topológicos $\left\langle X,\tau\right\rangle $ , $\left\langle Y,\sigma\right\rangle$ y una función $X\overset{f}\longrightarrow Y$ . ¿Podría alguien esbozar una prueba de que

(1) $\quad$ Para todos los conjuntos $M\subset Y$ se sostiene que $x\in \overline{f^{-1}(M)}\Rightarrow f(x)\in \overline{M}$

es equivalente a la de $f$ es continua?

Answer 1

Si $f$ es continua, entonces $f^{-1}(\overline{M})$ está cerrado. Desde $f^{-1}(M) \subset f^{-1}(\overline{M})$ se deduce que $\overline{f^{-1}(M)} \subset f^{-1}(\overline{M})$ .

Para la inversa, observe que $\overline{f^{-1}(M)} \subset f^{-1}(\overline{M})$ implica que $$f^{-1}(\overline{M})^c=f^{-1}(\overline{M}^c)\subset \overline{f^{-1}(M)}^c=\operatorname{int}(f^{-1}(M)^c)=\operatorname{int}(f^{-1}(M^c)),$$ donde utilizamos que el complemento del cierre es el interior del complemento . Cualquier conjunto abierto $U$ puede escribirse como $M^c=\overline{M}^c$ para algún conjunto cerrado $M$ por lo que esto implica para $U$ abierto:

$$f^{-1}(U) \subset \operatorname{int}(f^{-1}(U)).$$

Answer 2

Supongamos que $f$ es continua. Vamos a argumentar por contradicción. Supongamos que $f(x)\notin \overline{M}.$ Entonces existe un conjunto abierto $V$ en $Y$ tal que $f(x)\in V$ y $V\cap M=\emptyset.$ Desde $f$ es continua tenemos que $f^{-1}(V)$ está abierto. Además, $x\in f^{-1}(V)$ y $f^{-1}(V)\cap f^{-1}(M)=\emptyset.$ Así que, $x\notin \overline{f^{-1}(M)}.$

A la inversa, supongamos que para cualquier conjunto $M\subset Y$ es $x\in \overline{f^{-1}(M)}\Rightarrow f(x)\in \overline{M}.$ Para demostrar la continuidad basta con mostrar que $\overline{f^{-1}(M)}$ está cerrado si $M$ está cerrado. Por lo tanto, supongamos que $M$ está cerrado, es decir, $M=\overline{M}.$ Si $\overline{f^{-1}(M)}$ no está cerrado, entonces existe $x\in \overline{f^{-1}(M)}$ tal que $x\notin f^{-1}(M).$ Pero esto es imposible ya que $f(x)\in \overline{M}=M.$

Answer 3

Recordemos que $f^{-1}$ es un homomorfismo de álgebras booleanas, por lo que $f^{-1}(Y\setminus A)=X\setminus f^{-1}(A)$ . Por lo tanto, la definición de continuidad puede expresarse como sigue:

$f$ es continua si siempre que $A\subseteq Y$ está cerrado, entonces $f^{-1}(A)$ está cerrado en $X$ .

Esto es fácil. Dada su condición, elija $M=\overline M$ entonces tenemos que $x\in\overline{f^{-1}(M)}$ implica que $f(x)\in M$ y por lo tanto $x\in f^{-1}(M)$ . Así que $f^{-1}(M)$ es efectivamente cerrado (la otra inclusión es trivial).

En la otra dirección, supongamos que $f$ es continua $M\subseteq Y$ entonces $f^{-1}(\overline M)$ es cerrado y contiene $\overline{f^{-1}(M)}$ Así que, por supuesto, si $x\in\overline{f^{-1}(M)}$ entonces $x\in f^{-1}(\overline M)$ y por lo tanto $f(x)\in\overline M$ como se quería.

Answer 4

Supongamos que $f$ es continua, y supongamos que $x\in\overline{f^{-1}(M)}$ . Si $U\subset Y$ está abierto y contiene $f(x)$ entonces $f^{-1}(U)\subset X$ está abierto y contiene $x$ por lo que se cruza con $f^{-1}(M)$ lo que significa que $U$ se cruza con $M$ y así $f(x)\in\overline{M}$ .

A la inversa, supongamos que la condición $(1)$ se mantiene, y deja que $M\subset Y$ un subconjunto cerrado. Afirmamos que $\overline{f^{-1}(M)}=f^{-1}(M)$ . Una inclusión es obvia, y para la otra dejemos $x\in\overline{f^{-1}(M)}$ . Así que por $(1)$ , $f(x)\in\overline{M}$ pero $M$ es cerrado, por lo tanto $f(x)\in M$ lo que significa que $x\in f^{-1}(M)$ . Así que la imagen inversa de un subconjunto cerrado es cerrada, y $f$ es continua.