dejar $X$ sea una variable aleatoria gaussiana estándar. Demuestre que $(X,X)$ no es absolutamente continua.

Question

Estoy tratando de entender una prueba de la siguiente afirmación:

dejar $X$ sea una variable aleatoria gaussiana estándar. Demuestre que $(X,X)$ no es absolutamente continua.

Escribiré la prueba de tal manera que pueda mostrarte dónde tengo problemas.

Prueba :

Suponemos que $V:=(X,X)$ es absolutamente continua, lo que significa que existe un mapa $f:\Bbb{R}^2\to \Bbb{R}^2$ que es medible por Lebesgue y tal que $\int_{\Bbb{R}^2} f d\lambda^2=1$ , donde $\lambda^2$ denota la medida de Lebesgue en $\Bbb{R}^2$ .

Entonces para todos los mapas medibles de Borel $h:\Bbb{R}^2\to\Bbb{R}^2$ tenemos $$\Bbb{E}[h(X,X)]=\Bbb{E}[V] \overset{by def}{=} \int_{\Omega}h(V)d\Bbb{P}\overset{(1)}{=}\int_{\Bbb{R}^2}h(x,y)d\Bbb{P}_V(x,y) = \int_{\Bbb{R}^2}h(x,y)f(x,y)d\lambda^2(x,y).$$

Por otro lado tenemos $$\Bbb{E}[h(X,X)]\overset{bydef}{=}\int_{\Omega}h(X,X)d\Bbb{P}\overset{(2)}{=}\int_{\Bbb{R}}h(x,x)d\Bbb{P}_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\Bbb{R}}h(x,x)e^{-\frac{x^2}{2}}d\lambda(x)$$

Ahora elige $h:\Bbb{1}_A(x,y)$ , donde $A:=\{(x,y)\in \Bbb{R}^2:x=y\}$ . Por la primera relación tenemos: $$\int_{\Bbb{R}^2}h(x,y)f(x,y)d\lambda^2(x,y)=0$$ Como la medida de una línea es $0$ con respecto a $\lambda^2$ . Por la segunda relación tenemos $$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\Bbb{R}}h(x,x)e^{-\frac{x^2}{2}}=1$$

Como hemos llegado a una contradicción podemos deducir que $(X,X)$ no es absolutamente continua.

Lo que no entiendo son las igualdades $(1),(2)$ ¿Cuál es el "truco" de la definición de $V:=(X,X)$ . ¿Por qué esta definición lleva a las dos igualdades diferentes $(1),(2)?$ Gracias por cualquier ayuda

Answer 1

Ambas representaciones integrales son aplicaciones de lo siguiente: Si $Y$ es una variable aleatoria con valores en $\mathbb{R}^n$ entonces $$ {\rm E}[u(Y)]:=\int_{\Omega} u(Y)\,\mathrm dP=\int_{\mathbb{R}^n}u(y)\,P_Y(\mathrm dy),\tag{1} $$ para un sistema medible y acotado $u$ . Aquí $P_Y$ es la distribución de $Y$ que es la medida sobre $\mathbb{R}^n$ dado por $$ P_Y(A)=P(Y^{-1}(A)), $$ para los conjuntos de Borel $A\subseteq\mathbb{R}^n$ .

La primera igualdad se deduce de $(1)$ con $Y=V$ y $u=h$ . La segunda igualdad se deduce de $(1)$ con $Y=X$ y $u=h\circ g$ , donde $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2$ viene dada por $g(x)=(x,x)$ .

Answer 2

Definir $\triangle=\left\{ \left(x,x\right)\mid x\in\mathbb{R}^{2}\right\} $ aquí.

Supongamos que $f\left(x,y\right)$ sirve como PDF aquí.

Entonces se produce la contradicción: $$1=P\left\{ \left(X,X\right)\in\mathbb{R}^{2}\right\} =P\left\{ \left(X,X\right)\in\triangle\right\} =\int_{\triangle}fd\lambda=0$$ La última igualdad como consecuencia de $\lambda\left(\triangle\right)=0$ .

Esto demuestra que no existe una PDF, es decir, que la distribución de $(X,X)$ no es absolutamente continua.

El hecho de que $X$ es gaussiano estándar no juega ningún papel en esto.

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adenda

En mi opinión, es atractivo escribir $\mu\left(f\right)$ para la integral $\int fd\mu$ .

De hecho $\mu$ es ya no se mira como una función sobre conjuntos medibles sino como una función (con buenas propiedades) sobre funciones integrables. La medida original del conjunto $A$ se puede encontrar de nuevo como $\mu\left(1_A\right)$ .

Definición de $\delta:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^{2}$ por $x\mapsto\left(x,x\right)$ venimos a $V=\delta\circ X:\Omega\rightarrow\mathbb{R}^{2}$ .

Aquí: $$P_{V}\left(h\right)=P\left(h\circ V\right)=P\left(h\circ\delta\circ X\right)=P_{X}\left(h\circ\delta\right)$$ $P$ denota la medida de probabilidad original en $\Omega$ y $P_{V}$ y $P_{X}$ son medidas inducidas en $\mathbb{R}^{2}$ y $\mathbb{R}$ respectivamente.