Dejemos que $K$ sea una extensión finita del $p$ - los números de la época. $G_K$ sea su grupo de Galois absoluto y $I_K$ el subgrupo de inercia. ¿Son los subgrupos de índice finito de $I_K$ cerrado en su topología profinita?
Por un resultado de Nikolov/Segal basta con demostrar que la inercia está generada topológicamente de forma finita.
¿Qué se ha demostrado en este sentido o en la cuestión análoga sobre la inercia salvaje?
¿Sirven los resultados de Jannsen/Koch/Wingberg sobre el rango generador finito del grupo de Galois local? No he podido encontrar nada sobre esto y, teniendo en cuenta su importancia, seguramente se mencionaría en alguna parte, si se conociera siempre. ¿Así que tal vez alguien tenga algún resultado condicional?
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Querido Konrad, deja que $K_n$ sea el grado $n$ extensión no ramificada de $K$ . Entonces $I_K = I_{K_n}$ . La teoría del campo de clases muestra que $I_{K_n}^{ab} = \mathcal O_{K_n}^{\times}$ , cuyo pro- $p$ -modulo su subgrupo de torsión (el $p$ de las raíces de poder de la unidad contenida en $K_n$ ), es isomorfo a $\mathbb Z_p^{nd}$ , si $d$ denota el grado de $K$ en $\mathbb Q_p$ . Así, $I_K^{\mathrm{wild}}$ admite una suryección sobre $\mathbb Z_p^{nd}$ para todos $n$ y, por tanto, no está generada topológicamente de forma finita. Saludos, Matthew
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@Emerton: Gracias por tu bonito comentario. Tal vez a la luz de esto mathoverflow.net/questions/82177/ y sus respuestas, no se puede esperar mucho más respecto a la cerrazón de los subgrupos normales de índice finito. Pensaré un poco más en ello. Gracias de nuevo.
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@Konrad: Afinando el comentario de Emerton, ya que $I_K$ es el grupo de Galois absoluto de un campo completo discreto-valorado con un campo de residuos cerrado, la teoría geométrica de campo de clase local de Serre se aplica a $I_K$ . Así, el profinito conmutativo $I_K^{\rm{ab}}$ admite $p$ -cocientes de Hausdorff de torsión de dimensión finita sobre $\mathbf{F}_p$ con una dimensión arbitrariamente grande, por lo que admite un homomorfismo continuo sobre el producto directo contablemente infinito $P = \prod_{n=1}^{\infty} \mathbf{F}_p$ . Pero $P$ tiene subgrupos de índice finito que no son cerrados, por lo que la respuesta a tu pregunta es negativa.
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Uy, cuando escribí que la respuesta a tu pregunta es "negativa" pasé por alto la forma en que la planteaste. Debería haber dicho que la respuesta a tu pregunta es "afirmativa": hay son subgrupos de índice finito de $I_K$ que no están cerrados (por las razones indicadas en mi comentario anterior, ya que un producto directo contablemente infinito de $\mathbf{F}_p$ tiene sólo un número contable de subgrupos cerrados de índice finito, pero tiene una dimensión incontable sobre $\mathbf{F}_p$ y, por tanto, tiene un número incontable de subgrupos de índice finito, por lo que "la mayoría" de ellos no son cerrados).
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@xuhan, aceptaré la respuesta de Chandan, ya que la tuya fue escrita como un comentario. Seguramente echaré un vistazo a la referencia. Gracias por ello.
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@Konrad: ¡La respuesta de Chandan es mucho mejor que mis comentarios! :)