Pregunta sobre los puntos en posición general (del documento expositivo de Keith Conrad sobre las isometrías)

Question

https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/grouptheory/isometryRn.pdf

En un documento expositivo sobre las isometrías de $\Bbb R^n$ Keith Conrad demuestra el siguiente corolario:

Corolario 2.7. Dejemos que $P_0,...,P_n$ sea $n+1$ puntos en $\Bbb R^n$ en "posición general", es decir, no están todos en un hiperplano. Dos isometrías de $\Bbb R^n$ que son iguales en $P_0,...,P_n$ son los mismos.

Entonces, ¿qué significa exactamente "no están todos en un hiperplano"? Que son $n+1$ ¿puntos linealmente independientes? ¿Cómo es posible en un espacio vectorial de dimensión $n$ ? El último paso también es algo con lo que tengo problemas:

Al restar $P_0$ de $P_0,...,P_n$ los puntos $0,P_1P_0,...,P_nP_0$ están en posición general. Esto significa que ningún hiperplano puede contenerlos a todos, por lo que no existe una relación lineal no trivial entre $P_1P_0,...,P_nP_0$ (una relación lineal no trivial situaría estos $n$ puntos, junto con $0$ en un hiperplano común), y por tanto $P_1P_0,...,P_nP_0$ es una base de $\Bbb R^n$ .

¿Por qué los puntos permanecen "en posición general" después de que uno se sustraiga del resto y por qué eso lleva a que sean una base? Si hubiera una relación lineal no trivial entre estos puntos, ¿significa eso que serían linealmente dependientes? Supongo que mi problema es entender la definición de "posición general" y cómo se relaciona con la dependencia lineal, así que cualquier ayuda en ese sentido se agradece.

Answer 1

Un hiperplano en $\mathbb{R}^n$ es el conjunto de soluciones de una única ecuación lineal. Equivalentemente, es la traslación de un subespacio lineal de dimensión $n-1$ . Por ejemplo, $x - y = 1$ define un hiperplano en $\mathbb{R}^2$ . Es una traslación del subespacio lineal unidimensional dado por $x - y = 0$ .

Puntos $P_0, \ldots, P_n$ en $\mathbb{R}^n$ están en posición general si no hay un hiperplano que los contenga a todos. Si un conjunto de puntos está en posición general, cualquier traslación de este conjunto de puntos está en posición general (¿ves por qué?). Por lo tanto, si $P_0, P_1, \ldots, P_n$ están en posición general, entonces $0, P_1 - P_0, \ldots, P_n - P_0$ también están en posición general. Ahora bien, si $P_1 - P_0, \ldots, P_n - P_0$ serían linealmente dependientes (en otras palabras, si existe una relación lineal no trivial entre ellos), estarían contenidos en un $n-1$ -subespacio lineal. Como un subespacio lineal siempre contiene $0$ Esto sería una contradicción.