La comprensión de la definición de un cofibration

Question

Tengo dificultades para asimilar la noción de cofibration. Me parecen perderse en los diagramas y las técnicas (por ejemplo, Hatcher/Bredon/Spanier). Estaría agradecido si alguien me ayudaba con eso.

Por favor me corrija si estoy equivocado.

Supongamos $i: A \hookrightarrow X$ es un cofibration (para simplificar, digamos que es una inclusión). Ahora vamos a $Y$ ser algunos topológica del espacio y $g: X \rightarrow Y$ cualquier mapa.

En palabras, la cofibration parece que me diga que si tenemos un mapa de $f: A \rightarrow Y$ que homotopy desplazamientos con $g \circ i$ a través de algunos homotopy $G$, entonces existe otro homotopy $F: X \times [0,1] \rightarrow Y$ tal que [...]. Esto es donde estoy atascado. Entiendo que la definición técnica, pero yo no "sentir" lo que realmente significa.

Como consecuencia de ello, no veo cómo puede ser utilizado. Podría alguien por favor me dan una específica ilustración de un cofibration en el trabajo y llenar el espacio en blanco con un no-explicación técnica?

Gracias.

Answer 1

... de tal manera que la restricción de $F$$A\times [0,1]$$G$. Todo lo que tienes que decir es que "podemos extender la homotopy a $X$".

En topología algebraica, siempre que se puede decir "inclusión" casi siempre significa "cofibration", aunque esto siempre es cierto por ejemplo, para CW-complejos, que es muy posiblemente la razón por la distinción es a menudo borrosa. Una buena condición es que cuando sus espacios Hausdorff, un cofibration es un cerrado de inclusión.

Answer 2

El punto de la noción de cofibration que es, además, doble a la noción de fibration: fibrations son mapas adaptados a la toma de fibras ("granos") y cofibrations son mapas adaptados a tomar cofibers aka cocientes ("cokernels"); esta dualidad es especialmente claro en la definición de un modelo de la categoría.

En cierto sentido, esta es la misma dualidad que los vínculos de la (co)homología y homotopy grupos - por ejemplo, hay una larga secuencia exacta de homotopy grupos para una fibration y una larga secuencia exacta de la (co)homología de grupos para una cofibration. La posterior largo de la secuencia exacta es el ejemplo de "cofibrations en el trabajo" en topología algebraica, creo.