Dejemos que $a_n$ sea una secuencia acotada con media aritmética convergente $s_n=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} a_k$ . ¿Se deduce que la secuencia de sumas exponenciales $e_n=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \exp{(a_k)}$ ¿también convergen?
Se agradece cualquier idea, ¡gracias!
Respuestas
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Zhaohui Du
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140
La secuencia $e_n$ puede no converger.
Dejemos que $a_n=(-1)^n$ cuando hay un número entero k para que $2^{2k-1}\le n\lt 2^{2k}$ Y que $a_n=2\times(-1)^n$ cuando hay un número entero k para que $2^{2k}\le n\lt 2^{2k+1}$ Así que $s_n$ convergen a 0.
Pero $e_n$ no cubre. Oscila entre $ch(2)=\frac{e^2+e^{-2}}2$ y $ch(1)=\frac{e+e^{-1}}2$ . El límite superior es $ch(2)+\frac{ch(1)}2+\frac{ch(2)}4+\frac{ch(1)}8+...$ y el límite inferior es $ch(1)+\frac{ch(2)}2+\frac{ch(1)}4+\frac{ch(2)}8+...$
S. Dolan
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296
Dejemos que $(a_n)$ sea la secuencia dada por $$0,0,1,-1,0,0,1,-1,0,0,0,0,1,-1,1,-1,...$$ donde los bloques de $0$ s y bloques de $1,-1$ s siguen duplicando su tamaño. La media aritmética tiende a 0.
Sin embargo, la media aritmética de $(e^{a_n})$ varía continuamente entre $\frac{2+e^1+e^{-1}}{4}$ y $\frac{4+e^1+e^{-1}}{6}$ .
