Demuestra que $\mathbb Q(\sqrt[3]{2})[Y]/\langle Y^2+Y+1\rangle$ es un campo de división de $X^3-2$

Question

Demuestra que $\mathbb Q(\sqrt[3]{2})[Y]/\langle Y^2+Y+1\rangle$ es un campo de división de $f(X) = X^3-2$ donde $Y$ es un indeterminado sobre $\mathbb Q$

Answer 1

Desde $Y^2 + Y + 1$ es irreducible, los elementos de $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})(Y)/ \langle Y^2 + Y + 1 \rangle$ son de la forma $ a+b \theta$ , donde $\theta$ es una raíz de $Y^2 + Y + 1$ y $a,b \in \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ . Las raíces de $Y^2 + Y + 1$ son $$ -\frac{1}{2}\pm i\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Elige el que tiene el signo más, de ahí que los elementos de $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})(Y)/ \langle Y^2 + Y + 1 \rangle$ son de la forma $ a+b \theta$ , donde $\theta=-\frac{1}{2}+ i\frac{\sqrt{3}}{2}$ y $a,b \in \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$

Ahora, las raíces de $X^3-2=0$ son $\sqrt[3]{2}$ , $\zeta \sqrt[3]{2}$ y $\zeta^2 \sqrt[3]{2}$ donde $\zeta$ es una raíz tercera primitiva de $1$ por lo que su campo de división es $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \zeta)$ . Desde $$ \zeta = e^{\frac{2\pi i}{3}}=\cos \frac{2\pi i}{3} + i \sin \frac{2\pi i}{3} = -\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2},$$ entonces $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \zeta) =\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},-\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2})$ es decir, los elementos de la forma $a+b \theta$ , donde $\theta=-\frac{1}{2}+ i\frac{\sqrt{3}}{2}$ y $a,b \in \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ .

Answer 2

Sabemos que las raíces de $f(x)=x^3-2$ es $\{\sqrt[3]2,\zeta_3 \sqrt[3]2,\zeta_3^2\sqrt[3]2 \}$ entonces $\mathbb Q(\sqrt[3]2,\zeta_3)$ es el campo de división de $f(x)$ En cambio, tenemos $$\mathbb Q(\sqrt[3]2,\zeta_3)= \mathbb (Q(\sqrt[3]2))(\zeta_3)\cong \mathbb Q(\sqrt[3]2)(Y)/(Y^2+Y+1)$$ con $Y^2+Y+1$ polunomio irreducible de $\zeta_3$ .

Answer 3

Escribamos $a$ para $\sqrt[3]{2}$ Es más fácil. Ahora con los coeficientes en $\Bbb Q$ el polinomio $x^3-2$ es irreducible, pero si permitimos los coeficientes en $\Bbb Q(a)$ podemos dividir la raíz $a$ utilizando la identidad $x^3-a^3=(x-a)(x^2+ax +a^2)$ . El polinomio cuadrático es irreducible en $\Bbb Q(a)$ pero podemos resolverlo utilizando la fórmula clásica para encontrar las raíces de ecuaciones cuadráticas dando: $$ \frac{-a \pm \sqrt{a^2 - 4a^2}}{2} = a(\frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2})= (a\zeta, a\zeta^2) $$ Así que podemos encontrar todas las raíces en la extensión $\Bbb Q(\sqrt[3]{2}, \zeta)$ . La notación $\Bbb Q[X]/X^2+X+1$ es sólo otra forma de escribir $\Bbb Q(\zeta)$ .