Unión infinita de campos.

Question

Dejemos que $L=\cup_{n}\mathbb{Q}(\sqrt[n]{2})$ , demuestre que L es un campo y L no es finito sobre Q, pero L es algebraico sobre Q.

Mi primer paso es demostrar que $\mathbb{Q}(\sqrt[n]{2})\cup \mathbb{Q}(\sqrt[m]{2})$ está contenida en $\mathbb{Q}(\sqrt[mn]{2})$ .

¿Pueden ayudarme? Gracias.

Answer 1

Su primer paso de mostrar que $\mathbb Q (\sqrt[n]{2}) \cup \mathbb Q(\sqrt[m]{2}) \subset \mathbb Q(\sqrt[nm]{2})$ ¡es muy útil! Este hecho te ayudará a demostrar que si sumas o multiplicas dos elementos cualesquiera en $L$ la respuesta también estará en $L$ . Esto le permitirá demostrar que $L$ es un campo... ¡pero probablemente ya lo sabías!

A continuación, le gustaría demostrar que $L$ no es finito sobre $\mathbb Q$ . Tal vez podría preguntarse: ¿qué es $[\mathbb Q(\sqrt[n]{2}) : \mathbb Q]$ ? (Recuerde, si $\alpha \in \mathbb C$ tiene un polinomio mínimo de grado $N$ en $\mathbb Q$ entonces $[\mathbb Q(\alpha) : \mathbb Q] = N$ . Entonces, ¿cuál es el polinomio mínimo de $\sqrt[n]{2}$ en $\mathbb Q$ ? Y por lo tanto, ¿qué es $[\mathbb Q(\sqrt[n]{2}) : \mathbb Q]$ ?)

Una vez hecho esto, tenga en cuenta que $L$ tiene cada $\mathbb Q (\sqrt[n]{2})$ como subcampo, por lo que $[L:\mathbb Q] \geq [\mathbb Q(\sqrt[n]{2}) : \mathbb Q]$ para cada $n$ . ¿Puedes ver a dónde va esto?

Por último, le gustaría demostrar que cada elemento de $L$ es algebraico sobre $\mathbb Q$ . Pero como $L$ es la unión de los $\mathbb Q(\sqrt[n]{2})$ sólo hay que demostrar que para cada $n$ es cierto que cada elemento de $\mathbb Q(\sqrt[n]{2})$ es algebraico sobre $\mathbb Q$ . ¿Puedes hacerlo?

(Recuerde, si $\alpha$ NO es algebraico sobre $\mathbb Q$ entonces $[\mathbb Q(\alpha) : \mathbb Q] = \infty$ .)