Supongamos que $X$ es infinito y $A$ es un subconjunto finito de $X$ . Entonces $X$ y $X \setminus A$ son equívocos

Question

Supongamos que $X$ es infinito y que $A$ es un subconjunto finito de $X$ . Entonces $X$ y $X \setminus A$ son equívocos.

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Mi intento:

Dejemos que $|A|=n$ . Lo demostraremos por inducción en n. Está claro que el teorema es trivial para $n=0$ . Supongamos que el teorema es cierto para todos los $n=k$ . Para $n=k+1$ entonces $|A \setminus \{a\}|=k$ para algunos $a \in A$ . Así, $X \setminus (A \setminus \{a\}) \sim X$ por hipótesis inductiva, o $(X \cap \{a\}) \cup (X \setminus A) \sim X$ o $\{a\} \cup (X \setminus A) \sim X$ . Tenemos $\{a\} \cup (X \setminus A) \sim X \setminus A$ ya que el teorema es cierto para $n=1$ . Por lo tanto, $X \setminus A \sim \{a\} \cup (X \setminus A) \sim X$ . Así, $X \setminus A \sim X$ . Esto completa la prueba.

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¿Esta prueba se ve bien o contiene lagunas? ¿Tiene alguna sugerencia? ¡Muchas gracias por su dedicada ayuda!

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Actualización : Aquí demuestro que el teorema es verdadero para $n=1$ .

Supongamos que $A = \{a\}$ y en consecuencia $X \setminus A= X \setminus\{a\}$ . Está claro que $|X \setminus A| \le |X|$ . A continuación demostramos que $|X| \le |X \setminus A|$ . Desde $X$ es infinito, existe $B \subsetneq X$ tal que $B \sim X$ (Aquí asumimos el axioma de elección contable). Así, $|X|=|B|$ . Sólo hay dos casos posibles.

1. $a \in X \setminus B$

Entonces $B \subseteq X \setminus \{a\}=X \setminus A$ y en consecuencia $|X|=|B| \le |X \setminus A|$ . Así, $|X| \le |X \setminus A|$ y $|X \setminus A| \le |X|$ . Por el teorema de Schröder-Bernstein, tenemos $|X \setminus A| = |X|$ . De ello se desprende que $X \setminus A \sim X$ .

2. $a \in B$ .

Dejemos que $b \in X \setminus B$ . Definimos una biyección $f:X \setminus \{a\} \to X \setminus \{b\}$ por $f(x)= x$ para todos $x \in X \setminus \{a,b\}$ y $f(b)=a$ . Así, $X \setminus \{a\} \sim X \setminus \{b\}$ . Desde $b \in X \setminus B$ se deduce del caso 1 que $X \setminus \{b\} \sim X$ . Por lo tanto, $X \setminus \{a\} \sim X \setminus \{b\} \sim X$ . Así, $X \setminus \{a\} = X \setminus A \sim X$ .

En resumen, $X \setminus A \sim X$ para todos $|A|=1$ .

Answer 1

Su prueba es correcta excepto para el paso en el que se dice que $\{a\} \cup (X \setminus A) \sim X \setminus A$ por hipótesis inductiva. Supongo que está aplicando la hipótesis inductiva (al conjunto $\{a\} \cup (X \setminus A)$ ) en el caso $n=1$ lo cual está bien siempre y cuando $k \ge 1$ . Pero su prueba no funciona en el caso $k=0$ . En otras palabras, su prueba muestra correctamente que si el teorema se cumple para $n=1$ entonces se mantiene para todos los valores mayores de $n$ . Pero no demuestra que sea válida para $n=1$ .

De hecho, la prueba de $n=1$ es bastante complicado. He aquí un buen ejercicio: demostrar que el $n=1$ caso de un conjunto infinito $X$ equivale a la afirmación de que $X$ contiene un subconjunto que es equinumérico al conjunto de enteros positivos. Ahora bien, la afirmación de que todo conjunto infinito contiene un subconjunto equinumérico al conjunto de los enteros positivos no se puede demostrar sin alguna forma del axioma de elección. Por lo tanto, la prueba de la $n=1$ caso también requerirá el axioma de elección.

Answer 2

La prueba (con la actualización) parece correcta.

Asumiendo la elección (o al menos la elección contable), podemos hacerlo quizás más fácilmente.

Desde $A$ es finito, existe una biyección $g\colon\{0,1,\dots,n-1\}\to A$ para algunos $n\in\mathbb{N}$ .

Arreglar una inyección $f\colon\mathbb{N}\to X\setminus A$ (que existe porque $X\setminus A$ es infinito, suponiendo una elección contable) y definir $\psi\colon X\setminus A\to X$ por $$ \psi(x)=\begin{cases} x & x\notin f(\mathbb{N}) \\[4px] g(m) & x=f(m),\quad 0 \le m < n \\[4px] f(m-n) & x=f(m),\quad m \ge n \end{cases} $$ Prueba $\psi$ es una biyección.

Answer 3

He encontrado que la solución de @egreg es muy elegante, así que quiero reformularla en la siguiente prueba. Todos los créditos van a @egreg.

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Lema 1 : Si $A$ es finito y $B$ es contablemente infinito, entonces $A\cup B$ es contablemente infinito.

Lema 2 : Si $X$ es infinito y $A$ es finito, entonces $X\setminus A$ es infinito.

Lema 3 : Si $Y$ es infinito, entonces existe $B\subsetneq Y$ tal que $B$ es contablemente infinito. (Aquí asumimos el axioma de elección contable)

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Desde $X$ es infinito y $A$ es finito, entonces $X\setminus A$ es infinito por Lema 2 .

Desde $X\setminus A$ es infinito, existe $B\subsetneq X\setminus A$ tal que $B \sim \Bbb N$ por Lema 3 .

Desde $A$ es finito y $B$ es contablemente infinito, entonces $A\cup B \sim \Bbb N$ por Lema 1 .

Desde $B \sim \Bbb N$ y $A\cup B \sim \Bbb N$ , $B \sim A\cup B$ y por tanto existe una biyección $f_1:B \to A\cup B$ .

Dejemos que $f_2:X\setminus A\setminus B \to X\setminus A\setminus B$ sea el mapa de identidad en $X\setminus A\setminus B$ . Entonces $f_2$ es una biyección.

Definimos $f:X\setminus A \to X$ por $f(x)=f_2(x)$ para todos $x \in X\setminus A\setminus B$ y $f(x)=f_1(x)$ para todos $x \in B$ . Así, $f$ es una biyección.

Por lo tanto, $X\setminus A \sim X$ .