Medición cuántica desigual

Question

$\newcommand{\ket}[1]{\left| {#1} \right> }$ No tengo formación académica en física, pero estoy intentando estudiar la computación cuántica.

He leído que un sistema cuántico de dos qubits se representa mediante combinaciones normalizadas de la base $\left\{ \ket{00},\ket{01},\ket{10},\ket{11} \right\} $ . Se definió una medición sólo para un único qubit de los dos, es decir, un estado representado por $\ket{0}\otimes(a\ket{0}+b\ket{1})+\ket{1}\otimes(c\ket{0}+d\ket{1})$ puede tener su primer qubit medido y colapsar a $\ket{0}\otimes(a\ket{0}+b\ket{1})$ o $\ket{1}\otimes(c\ket{0}+d\ket{1})$ con las probabilidades adecuadas, y algo similar puede hacerse con el segundo qubit.

El documento dice que hay otros tipos de medición, como la comparación de los dos qubits, pero todos ellos son equivalentes a realizar este tipo de medición después de una transformación unitaria. De esto deduzco que la representación general de la medición se realiza dividiendo una base $\mathcal{B}$ en dos nuevas bases $\mathcal{B}_1, \mathcal{B}_2$ de igual tamaño, y luego el estado colapsa a su proyección a cualquiera de los dos $\mathcal{B}_1$ o $\mathcal{B}_2$ con las probabilidades adecuadas.

Lo que no entiendo es por qué $\mathcal{B}_1$ y $\mathcal{B}_2$ tienen que ser de igual tamaño - por ejemplo, ¿podría medir un sistema $a\ket{00}+b\ket{01}+c\ket{10}+d\ket{11}$ con las bases $\left\{\ket{00}\right\},\left\{\ket{01},\ket{10},\ket{11}\right\}$ para que se derrumbe a $\ket{00}$ con probabilidad $|a|^2$ y a $b\ket{01}+c\ket{10}+d\ket{11}$ con probabilidad $|b|^2+|c|^2+|d|^2$ ?

Si no es así, ¿hay alguna explicación (para un no-físico) de por qué es así?

Gracias de antemano.

Answer 1

Sí, en los sistemas físicos generales, se pueden hacer mediciones que dividan la base de forma desigual. Utilizando el lenguaje físico normal, podemos decir lo siguiente: Es posible medir un observable $J$ de manera que los espacios correspondientes a los diferentes valores propios posibles de $J$ tienen diferentes dimensiones.

Pero no son mediciones de un "qubit". Si la información se da en "qubits", eso supone que el tamaño de la información restante es independiente del resultado de la medición del "qubit", por lo que las dos sub-bases son igualmente grandes. En otras palabras, suponemos que el qubit medido es independiente de los restantes. Si es independiente, el espacio de Hilbert es isomorfo a $H_{\rm measured}\otimes H_{\rm remains}$ y tal producto tensorial tiene explícitamente la misma dimensión de los vectores con $b_{\rm measured}=0$ y $b_{\rm measured}=1$ .

Para darle un ejemplo de una medida que se colapsa en uno de los espacios de dimensiones desiguales, considere la medida del momento angular total $J$ de un sistema de dos electrones en el que el momento angular sólo surge del espín. Hay varias bases en este espacio de 4 dimensiones como $$|\rm up,up\rangle, |\rm up,down\rangle, |\rm down,up\rangle, |\rm down,down\rangle $$ pero también hay otra base natural que clasifica el estado según el total de $J^2$ es decir $J$ y la proyección $J_z$ . Estos son los estados escritos como $|J,J_z\rangle$ : $$|0,0\rangle, |1,-1\rangle, |1,0\rangle, |1,1\rangle$$ El segundo y el cuarto estado de la última ecuación mostrada son estados "abajo" y "arriba", respectivamente, pero el primer y el tercer estado de la última ecuación mostrada son la diferencia y la suma de "abajo" y "abajo", respectivamente.

Ahora, mirando la base en la última ecuación mostrada, vemos que la medida de $J$ o bien devuelve $0$ y "colapsa" el vector de estado en un estado en un espacio de Hilbert unidimensional, o devuelve $J=1$ y lo "colapsa" en un estado en un espacio de Hilbert tridimensional. También es posible cualquier otro desdoblamiento de una dimensión del espacio de Hilbert suficientemente grande: Se pueden definir observables (matrices) cuyos subespacios de estados propios dividen el espacio de Hilbert original de cualquier forma imaginable. Sin embargo, estas medidas no suelen considerarse en la computación cuántica, donde queremos mantener la independencia de los qubits.

Esto es análogo a la afirmación sobre los ordenadores clásicos, en los que también podríamos averiguar si un byte es un primo con "una medida". Sin embargo, los ordenadores clásicos no suelen tener circuitos para esas operaciones directas "desiguales" para empezar. En su lugar, hacemos una secuencia de operaciones de ordenador clásico (analogía de las transformaciones unitarias) y reducimos el problema a que un bit concreto sea 0 o 1 al final.