¿Por qué tenemos las concentraciones potenciadas a los coeficientes en la expresión de equilibrio?

Question

$$\ce{A -> 2B} \qquad K_\mathrm{c} = \frac{[\ce{B}]^2}{[\ce{A}]}$$

1. ¿Por qué tenemos una potencia que es igual al coeficiente?

2. Suponiendo que $K_\mathrm{c} = 1$ ¿las cantidades de la mezcla no deberían ser $2B = A$ (en otras palabras, la cantidad de $\ce{A}$ en la mezcla es igual a dos veces la cantidad de $\ce{B}$ en la mezcla)? Entonces, ¿por qué tenemos $[\ce{A}] = [\ce{B}]^2$ en lugar de $[\ce{A}]=2[\ce{B}]$ ?

Answer 1

Esto se debe a la forma en que se define la constante de equilibrio.

Un equilibrio químico es un estado estable en algún punto de la reacción (caracterizado por la grado de reacción $\xi$ ). Al ser un estado estable la entalpía libre $G$ tiene que tener un mínimo local exactamente en ese lugar.
Por lo tanto, podemos decir $$ \left( \frac{\partial G}{\partial \xi} \right)_{p,T} = 0 $$ Por otro lado, se aplica la siguiente ecuación:
$$ \Delta_rG_m = \left( \frac{\partial G}{\partial \xi} \right)_{p,T} = \sum_i \mu_i \cdot \nu_i $$ Con la entalpía de reacción libre y molar $\Delta_rG_m$ El potencial químico del componente $i$ $\mu_i$ y su coeficiente de reacción $\nu_i$ (Para entenderlo, considere esta ecuación general de reacción: $\ce{\nu_1A + \nu_2 B <=> \nu_3 C}$ - nótese que los coeficientes de los eductos son negativos por definición).

Por lo tanto, podemos decir que la siguiente ecuación se aplica para el estado de equilibrio: $$ \Delta_rG_m = 0 $$

podemos reescribir la fórmula anterior con la ayuda de la dependencia de la actividad (básicamente una dependencia de la concentración) del potencial químico ( $\mu_i = \mu_i^* - RT\cdot\ln(a_i)$ ):
$$ \begin{split} \Delta_rG_m &= \sum_i \mu_i \cdot \nu_i\\ &= \sum_i \nu_i\mu_i^* - RT \cdot \sum_i \nu_i\ln(a_i) \end{split} $$ Porque $a \cdot \ln(b) = \ln(b^a)$ esto es lo mismo que $$ \Delta_rG_m = \sum_i \nu_i\mu_i^* - RT \cdot \sum_i \ln(a_i^{\nu_i}) $$

Ahora definimos la entalpía de reacción estándar y libre $\Delta_rG_m^* = \sum_i \nu_i\mu_i^*$ y porque descubrimos (al principio) que para el estado de equilibrio $\Delta_rG_m$ tiene que ser cero podemos escribir: $$ \Delta_rG_m^* = -RT \cdot \sum_i \ln(a_i^{\nu_i}) $$ Porque $ \ln(a) + \ln(b) = \ln(a\cdot b)$ podemos reescribirlo como $$ \Delta_rG_m^* = -RT \cdot \ln\left(\prod_ia_i^{\nu_i}\right) $$

El último paso es definir la constante de equilibrio $K$ como $$ K = \prod_ia_i^{\nu_i} $$

Y así es como los coeficientes de la ecuación de recación terminan en el exponente al calcular la constante de equilibrio.