Dejemos que $I$ sea un ideal y $f$ sea un elemento de $R = \mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]$ , donde $\mathbb{C}$ es un campo algebraicamente cerrado de característica $0$ . Hace $$ (I+H):f = (I:f)+H $$ se mantienen para un hiperplano general en $\operatorname{Spec}(R)$ es decir, para $H = \langle \text{general linear function} \rangle$ ?
Respuesta
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Chris
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Un tonto contraejemplo. Tome $n:=2$ , $I:=Rx_1$ , $f:=x_2$ . Sea $l\notin Rx_1$ sea una forma lineal general en $x_1,x_2$ y $H:=Rl$ . Entonces $I+H=Rx_1+Rl=Rx_1+Rx_2$ y $(I:f)=(Rx_1:x_2)=Rx_1$ . Por lo tanto, $(I+H):f=(Rx_1+Rx_2):x_2=R$ mientras que $(I:f)+H=Rx_1+Rl=Rx_1+Rx_2$ .
Ese fue un contraejemplo realmente tonto, como prometí. Gracias a Allen Knutson y a Karl Schwede. En realidad, sólo debo observar que el problema podría ser reformulado: Dado un afín $\Bbb C$ -Álgebra $\Bbb C[L]$ generada por una dimensión finita $L$ y $f\in L$ para un genérico $l\in L$ tenemos $Af\cap A(l+1)=Af(l+1)$ .
