Inversa de una matriz de Toeplitz

Question

Una matriz de Toeplitz o matriz diagonal-constante es una matriz en la que cada diagonal descendente de izquierda a derecha es constante. Por ejemplo, la siguiente matriz es una $n\times n$ Matriz de Toeplitz:

$$ A = \begin{bmatrix} a_{0} & a_{-1} & a_{-2} & \ldots & \ldots &a_{-n+1} \\\ a_{1} & a_0 & a_{-1} & \ddots & & \vdots \\ a_{2} & a_{1} & \ddots & \ddots & \ddots& \vdots \\\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & a_{-1} & a_{-2}\\\ \vdots & & \ddots & a_{1} & a_{0}& a_{-1} \\ a_{n-1} & \ldots & \ldots & a_{2} & a_{1} & a_{0} \end{bmatrix} $$

Me interesa el caso autoadjunto ( $a_{-k}=a_{k}\in\mathbb{R}$ ).

Mis preguntas son:

• ¿Existe un criterio relativamente sencillo para saber cuándo estas matrices son invertibles con sólo analizar la secuencia $\{a_{0},\ldots,a_{n-1}\}$ ?

• En el caso invertible, ¿qué se sabe de su inversa?

• ¿Sobre su determinante?

Gracias.

Answer 1

Sobre el último punto de tu pregunta creo que no es realmente sencillo plantear una fórmula simple cerrada para los determinantes. He intentado ver si hay simetrías. Las hay, pero no son realmente útiles (al menos por lo que veo).

Para tener una idea de los 3 primeros pasos de la inducción tienes los siguientes determinantes.

Si $n=2$ entonces

\begin {Ecuación} \det A^{(2)} = a_0^2 - a_1^2 \end {Ecuación}

Si $n=3$ entonces

\begin {Ecuación} \det A^{(3)} = (a_0 - a_2) (a_0^2 - 2 a_1^2 + a_0 a_2) \end {Ecuación}

Ya en $n=4$ la fórmula no es tan sencilla. En efecto, si tenemos $n=4$ nos convertimos en el determinante:

\begin {Ecuación} \det A^{(4)} = a_0^4 + a_1^4 + a_2^4 - 2 a_1 a_2^2 a_3 +4 a_0 a_1^2 a_2 - 3 a_1^2a_0^2 -2 a_2^2a_1^2 - 2 a_2^2a_0^2 + a_3^2a_1^2 - a_3^2a_0^2 - 2 a_1^3 a_3 + 4 a_0 a_1 a_2 a_3 \end {Ecuación}

Lo que ocurre es que cuando hay que calcular $\det A^{(n)}$ los determinantes menores del orden $n-1$ son matrices en las que desaparece la condición de simetría que permitía grandes simplificaciones. Con n=2,3 el problema no es tan grande ya que los menores son triviales, pero cuando n se hace más grande surgen los problemas. De hecho, los menores no son realmente matrices de Toeplitz, sino "matrices de Toeplitz en bloque" (algo así). Así que tal vez podría haber una manera de encerrar la escritura en una fórmula de notación simple, pero no sería una ganancia computacional real...