Intersección de tres círculos con el mismo radio desconocido

Question

Estoy luchando con esto;

Se le dan puntos $A(100, 42)$ , $B(33,74)$ y $C(-26,6)$ . Punto $D$ tiene coordenadas desconocidas pero la distancia desde $D$ a $A$ es el mismo que el de $D$ a $B$ y que desde $D$ a $C$ . Determine las coordenadas de $C$ .

Al principio, pensé que sólo sería calcular las intersecciones de los tres círculos que se pueden crear, los tres con $r = d(A,C)$ pero no funcionó demasiado bien.

¿Alguien puede ayudar?

Answer 1

Suponiendo que se refiere a que es $D$ en lugar de $C$ el punto cuyas coordenadas se van a determinar, tenga en cuenta que $D$ es el circuncentro del triángulo $ABC$ .

Hay dos formas básicas de encontrarlo.

(1) :

Halla las ecuaciones de dos de las bisectrices de los lados del triángulo y encuentra su intersección. Esto es $D$ .

(2) :

Considere un círculo $x^2+y^2+ax+by+c=0$ . Sustituya las coordenadas de $A$ , $B$ y $C$ en esta ecuación para obtener un $3\times3$ sistema lineal sobre las incógnitas $a$ , $b$ y $c$ . Resuélvelo. $D$ es el centro de este círculo.

Nota: : Las coordenadas de $A$ , $B$ y $C$ parece gran . Si no tienes que hacer los cálculos a mano, debes utilizar un software. Geogebra es genial para esto.

Answer 2

Personalmente, voy a pensar con vectores. No obstante, acabará en el mismo sitio. Asumiendo que está encontrando coordenadas de $D$ .

Tenemos $$\left|\overrightarrow{AD}\right|=\left|\overrightarrow{BD}\right|=\left|\overrightarrow{CD}\right|$$ con $\overrightarrow{OA}=\binom{100}{42}$ , $\overrightarrow{OB}=\binom{33}{74}$ y $\overrightarrow{OC}=\binom{-26}{6}$ .

Dejemos que $\overrightarrow{OC}=\binom{x}{y}$ .

Tenemos

$$(x-100)^2+(y-42)^2=(x-33)^2+(y-74)^2=(x+26)^2+(y-6)^2$$

Esto parece muy complicado pero será más sencillo si lo hacemos de dos en dos.

Simplificando por pares, tenemos $$y= \frac{67}{32}x-\frac{5199}{64}$$ $$y= -\frac{59}{68}x+\frac{5853}{136}$$ $$y= -\frac{7}{2}x-\frac{307}{2}$$

De hecho, la resolución de dos ecuaciones lineales cualesquiera dará el resultado si la pregunta es válida.

Así que tenemos $$D\equiv\left(\frac{15023}{358},\frac{4745}{716}\right)$$ que, para ser sinceros, es una respuesta innecesariamente fea.

Diagrama: