Estoy tratando de factorizar el siguiente polinomio: $$ 8x^3 -4x^2y -18xy^2 + 9y^3 $$
$$ (a-b)^3 = a^3 -3a^2b + 3ab^2 - b^3 $$ Gracias
Respuestas
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Mira la siguiente factorización, que se me ocurrió:
$$\begin{align*}8x^3-4x^2y-18xy^2+9y^3&=4x^2(2x-y)-9y^2(2x-y)\\&=(4x^2-9y^2)(2x-y)\\&=(2x+3y)(2x-3y)(2x-y)\end{align*}$$
También quiero añadir que, es natural pensar en la identidad cúbica que nos diste, pero $9y^3$ no se ve bien cuando se trata de escribir como un cubo perfecto. También, en particular, al utilizar cualquier identidad de este tipo, intuitivamente, ya que $x^2y$ tiene un signo negativo, debería provenir del coeficiente de $y$ , lo que significa que el $y^3$ debe haber tenido un coeficiente negativo, ¡que no es el caso!
También el signo negativo en $xy^2$ sugiere en la misma línea de pensamiento que, $x^3$ debería haber tenido un signo negativo, lo que tampoco es el caso. Por lo tanto, ¡no vale la pena perseguir esta identidad aquí!
Espero que esto ayude.
Oli
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Sugerencia: Quizás mirar el problema más o menos equivalente de la factorización $8x^3-4x^2-18x+9$ .
Podemos usar el Teorema de las Raíces Racionales para encontrar las raíces racionales de esto, si es que hay alguna (y la hay). También podemos simplificar la vida escribiendo $2x=w$ , lo que da como resultado $w^3-w^2-9w+9$ .
O bien podemos observar que $8x^2-4x^2-18x+9=4x^2(2x^2-1)-9(2x-1)$ .
O bien podemos partir de la expresión original, y escribirla como $4x^2(2x-y)-9(2x-y)$ .
Y hay otras formas.
