Nueve piedras preciosas idénticas. Cuatro de ellas son diamantes y cinco no. ¿Cuál es la probabilidad de que se seleccione al menos un diamante?

Question

Me quedé atascado con esta pregunta en un trabajo escolar. La pregunta es la siguiente: En una caja hay nueve piedras preciosas de forma idéntica. Cuatro de ellas son diamantes y cinco no. ¿Cuál es la probabilidad de que se seleccione al menos un diamante, si una persona saca dos gemas con los ojos vendados?

Intenté hacer $\frac{(4)(8)}{{9}\choose{2}}\frac{1}{2!} = \frac{16}{36}$ , donde el $4$ es el primer diamante seleccionado, y el $8$ representa las gemas restantes después de seleccionar la primera. La fracción $\frac{1}{2!}$ es para corregir el sobreconteo. Sin embargo, cuando intenté dibujar un diagrama de árbol ampliado, descubrí que la respuesta es $\frac{26}{36}$ . ¿En qué me he equivocado?

Answer 1

El diamante no es necesariamente la primera gema, o sólo una gema. $4 \cdot 8$ cuenta todos los pares ordenados de gemas en los que la primera gema es el diamante, y la segunda gema es cualquier cosa. Un conjunto de dos diamantes se cuenta dos veces, pero el conjunto de dos gemas con un solo diamante sólo se cuenta una vez, por lo que no se corrige el sobreconteo al dividir por $2$ .

En cambio, podemos contar $\binom 42$ casos con dos diamantes y $\binom 41 \binom 51$ casos con un diamante, para un total de $26$ . Dividir esto por el $\binom 92$ total de casos, y obtenemos la respuesta que te dio tu diagrama de árbol.

Answer 2

Aunque se puede proceder añadiendo Pr( $1$ diamante) + Pr( $2$ diamante), las cuestiones de Pr del tipo "al menos uno" se abordan mejor encontrando el complemento, es decir. $Pr = 1 - \frac{\dbinom5 2}{\dbinom8 2}$

O bien, utilizando directamente las probabilidades, $1 -\left(\frac{5}{9}\cdot\frac{4}{8}\right)$