Integral complicada con la función gamma

Question

Evaluar la integral $$\int_{-\infty}^k \frac{\Gamma\left(\frac{v+1}2\right)}{\sqrt{v\pi}\,\Gamma\left({\frac v2}\right)} \left(1+\frac{t^2}{v}\right)^{-\frac{v+1}2} dt$$

¿Cómo podríamos empezar a resolver esta integral? ¿Utilizaríamos una sustitución trigonométrica?

Gracias.

Answer 1

Este es el CDF en $k$ de un Del estudiante $t$ distribución . La respuesta implica una función hipergeométrica. Se puede obtener en términos de una función Beta incompleta con $t=\sqrt{v}\tan\theta$ seguido de $u=\sin^2\theta$ es decir $u =\frac{t^2}{v+t^2}$ .