¿Una proyección que preserva la norma es la identidad?

Question

Dada una proyección ortogonal $\mathcal{P}$ : $\mathbf{R}^{n}\rightarrow \mathcal{S}$ , donde $\mathcal{S}\text{ is one subspace of } \mathbf{R}^{n}$ . Y que $||\cdot||_2$ denotan $l_2$ norma. Entonces para un vector $v\in \mathbf{R}^{n}$ , si $||\mathcal{P}(v)||_2=||v||_2$ podemos llegar a la conclusión de que: $v\in \mathcal{S}$ ?

Gracias.

Answer 1

Ramiro tiene razón en su comentario cuando dice que

si $\mathcal{P}$ es sólo una proyección (no necesariamente ortogonal) entonces NO podemos concluir que $v\in \mathcal{S}$

Para ver esto, construimos un contraejemplo sencillo. Tomamos como proyección $$\mathcal{P}=\begin{pmatrix}1 & -1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$$ operando en $\mathbb{R}^2$ y el subespacio generado por $$v=\begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}$$ así que $\mathcal{S}=\operatorname{span}(v)$ . Ahora tomamos $$w=\begin{pmatrix}0 \\ -1\end{pmatrix}, ||w||_2=1$$ pero también tenemos $$\mathcal{P}w=\begin{pmatrix}1 & -1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}w=\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix}\implies ||\mathcal{P}w||_2= ||w||_2=1$$ pero tenemos $$w\text{ not an element of }\mathcal{S}=\operatorname{span}\begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}$$

Answer 2

A proyección es un mapa de la forma $P^2=P$ . Cada proyección se divide $\mathbb{R}^n$ de la siguiente manera:

$$\mathbb{R}^n \cong \ker P\oplus \text{im } P,$$

lo que se desprende fácilmente del hecho de que $x=(I-P)x+Px$ .

Un proyección ortogonal es una proyección para la que $\ker P$ y $\text{im }P$ son ortogonales. Por lo tanto, si usted está en una proyección ortogonal,

$$\|P(v)\|=\|P(v_k+v_i)\|=\|P(v_k)+P(v_i)\|=\|P(v_i)\|=\|v_i\|.$$

Por lo tanto, si $\|P(v)\|=\|v\|$ entonces $\|v\|=\|v_i\|$ . Desde $\|v\|=\|v_i\|+\|v_k\|$ (aquí utilizamos la hipótesis ortogonal), entonces $\|v_k\|=0$ , lo que implica $v=v_i$ y luego que $v \in \text{im } P$ .

Answer 3

Lo siento, me lo perdí $P$ es una proyección. En ese caso es correcto. Dejemos que $\{v_1,v_2,...,v_k\}$ sea una base ortonormal para $S$ . Completémoslo con una base ortonormal para $\mathbb{R}^n$ $\{v_1,v_2,...,v_k,v_{k+1},...,v_n\}$ . Sabemos que $v=\sum_{j=1}^n<v,v_j>v_j$ y $P(v)=\sum_{j=1}^k<v,v_j>v_j$ . Ahora $||v||_2^2=||\sum_{j=1}^n<v,v_j>v_j||_2^2=\sum_{j=1}^n|<v,v_j>|^2$ y $||P(v)||_2^2=||\sum_{j=1}^k<v,v_j>v_j||_2^2=\sum_{j=1}^k|<v,v_j>|^2$ . Con estas representaciones es fácil ver que $||P(v)||_2=||v||_2 \iff \forall j\in \{k+1,...,n\}$ $|<v,v_j>|=0 \iff \forall j\in \{k+1,...,n\}$ $<v,v_j>=0$ lo que implica $$v=\sum_{j=1}^n<v,v_j>v_j=\sum_{j=1}^k<v,v_j>v_j=P(v)$$