¿Dónde está el $l_\infty$ ¿norma Fréchet diferenciable?

Question

Supongamos que $(V, \|\cdot\|_V)$ y $(W, \|\cdot\|_W)$ son dos espacios de Banach y $f: V \to W$ es alguna función. Llamamos a un operador lineal acotado $A \in B(V, W)$ Derivada de Fréchet de $f$ en $x \in V$ si

$$\lim_{h \to 0} \frac{\|f(x + h) - f(x) - Ah\|_W}{\|h\|_V} = 0$$

Llamamos a un $f$ Fréchet diferenciable en $x$ si existe una derivada de Fréchet de $f$ en $x$ .

Supongamos ahora que $l_\infty$ es el conjunto de secuencias reales acotadas dotadas de norma de "convergencia uniforme" $\|(x_n)_{n \in \mathbb{N}}\|_\infty = \sup\{|x_n|| n \in \mathbb{N}\}$ . No es difícil ver que $l_\infty$ es un espacio de Banach.

Supongamos que $f: l_\infty \to \mathbb{R}$ se define como $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \mapsto \|(x_n)_{n \in \mathbb{N}}\|_\infty$ . Supongamos que $D$ es el conjunto de todos los puntos de $l_\infty$ en el que $f$ es diferenciable de Fréchet. ¿Existe algún tipo de descripción explícita de $D$ ?

Lo único que sé actualmente es que si por $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \in l_\infty \exists n_0 \in \mathbb{N}$ tal que $|x_{n_0}|> sup\{x_k| k \neq n_0\}$ entonces $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \in D$ porque $(h_n)_{n \in \mathbb{N}} \mapsto sign(x_{n_0})h_{n_0}$ es una diferenciable de Fréchet de $f$ en ese punto.

Sin embargo, no tengo ni idea de cómo tratar otros casos.

Answer 1

Si $x=(x_n)$ es tal que $|x_n|>\sup_{k\neq n}|x_k|$ para algunos $n$ entonces $f$ viene dada por $h\mapsto \operatorname{sign}(x_n)h_n$ en un barrio de $x$ y por tanto es diferenciable en $x$ como tú dices. En cualquier otro punto, afirmo $f$ no es diferenciable.

Para demostrarlo, supongamos que $x$ no satisface la condición anterior. Esto significa que, o bien hay dos $m,n$ tal que $|x_m|=|x_n|=f(x)$ o bien existe una sucesión $(x_{k_n})$ tal que $|x_{k_n}|\to f(x)$ . En cualquier caso, podemos encontrar dos subconjuntos disjuntos $S,T\subset\mathbb{N}$ tal que $\sup_{n\in S}|x_n|=\sup_{n\in T}|x_n|=f(x)$ (en el primer caso toma $S=\{m\}$ y $T=\{n\}$ y en el segundo caso dividir $\{k_n\}$ en dos conjuntos infinitos $S$ y $T$ ). Ahora dejemos que $h=(h_n)$ sea la secuencia tal que $h_n=\operatorname{sign}(x_n)$ para $n\in S$ , $h_n=-\operatorname{sign}(x_n)$ para $n\in T$ y $h_n=0$ de lo contrario. Entonces $f(x+th)=f(x-th)=f(x)+t$ para todo lo que sea suficientemente pequeño $t$ . Así que si $f$ tenía la derivada de Frechet $A$ en $x$ entonces tendría que satisfacer $Ah=A(-h)=1$ lo cual es una contradicción ya que $A$ debe ser lineal.