Ampliación del campo con el grado impar

Question

Dejemos que $F(a)$ sea la extensión del campo sobre $F$ tal que $[F(a):F]=5$ . Sé que si $[F(a) : F]$ es impar entonces $F(a) = F(a^2)$ . Entonces, ¿cómo puedo demostrar que $F(a)= F(a^2+a+1)$ . Alguien podría darme pistas, por favor.

Gracias.

Answer 1

Es la misma razón que con $F(a)=F(a^2)$ , es decir, que $x^2+x+1$ tiene grado $2$ (es decir, entre $1$ y $5$ ), por lo que sabemos que

$$F\subset F(a^2+a+1)\subseteq F(a)$$

La primera inclusión es adecuada porque $[F(a^2+a+1):F]\big | [F(a):F]$ y tenemos el grado de ser $1$ o $5$ pero si $a^2+a+1=b\in F$ entonces $x^2+x+(1-b)$ es un polinomio de grado menor que $a$ satisface, una contradicción.

Answer 2

Una pista: Si $F\subset K\subset L$ son extensiones finitas, entonces $$[L:F]=[K:F]\cdot[L:K]$$ Si $[L:F]$ es primordial, ¿qué se puede decir de $K$ ?