¿Por qué la siguiente colección de conjuntos es igual a la siguiente?

Question

Supongamos que $(A_n)$ es una secuencia de eventos, Para cualquier $I \subset \{1,2,\ldots \} $ , set

$$ C_I = \bigg( \bigcap_{n \in I} A_n \bigg) \cap \bigg( \bigcap_{n \notin I } A_n^c \bigg) $$

Estoy tratando de mostrar que para cualquier $n \geq 1 $ tenemos

$$ \bigcup_{|I| < \infty,\ n \in I} C_I = A_n $$

Me resulta difícil entender esta identidad. Por ejemplo, si tomo $I = \{1,2,3 \} $ entonces

$$ C_I = ( A_1 \cap A_2 \cap A_3) \cap ( A_4^c \cap A_5^c \cap \cdots) $$

Pero, entonces, ¿cómo puedo entender y calcular $ \bigcup_{n \in I } C_I $ en esta situación?

Answer 1

$C_I$ es el conjunto de puntos que pertenecen a cada $A_n$ con $n\in I$ y a no $A_n$ con $n\notin I$ . Por ejemplo, $C_{\{2\}}$ es el conjunto de puntos que están en $A_2$ pero no en ningún otro $A_n$ . $C_{\{1,5\}}$ es el conjunto de puntos que están en $A_1\cap A_5$ pero no en ningún otro $A_n$ .

Para demostrar que

$$A_n=\bigcup_{|I|<\infty,n\in I}C_I\;,\tag{1}$$

puede tratar de demostrar que cada lado de $(1)$ es un subconjunto del otro.

• Demuestre que si $I$ es finito, y $n\in I$ entonces $C_I\subseteq A_n$ . (Esto es muy sencillo.) Concluya que $$\bigcup_{|I|<\infty,n\in I}C_I\subseteq A_n\;.$$

• Entonces trata de demostrar que si $a\in A_n$ hay un número finito de $I\subseteq\Bbb Z^+$ tal que $a\in C_I$ .

Sin embargo, esto no tiene por qué ser así. Si $a\in A_n$ para todos $n$ por ejemplo, entonces $a\notin C_I$ para cualquier $I$ . Podrás demostrarlo sólo si tienes la hipótesis adicional de que cada punto está en sólo un número finito de conjuntos $A_n$ .

Lo que puede probar, incluso sin esa hipótesis extra, es que

$$A_n=\bigcup_{n\in I\subseteq\Bbb Z^+}C_I\;,$$

sin ninguna restricción en el tamaño de $I$ . La primera inclusión de arriba sigue estando bien, y es es cierto que si $a\in A_n$ hay una (no necesariamente finita) $I\subseteq\Bbb Z^+$ tal que $a\in C_I$ . ¿Puedes encontrarlo?

Answer 2

Mira cómo algo entra en un determinado $C_I$ . Sea $I$ sea un conjunto de índices finitos y $a\in C_I$ entonces tenemos $\forall k\in I,a\in A_k$ . También tenemos $a\in A_j^C$ para $j\notin I$ o en otras palabras, $a\notin A_j$ Por lo tanto, para un conjunto de índices determinado, estamos recogiendo todos los eventos que están en cada uno de esos conjuntos de índices, y en NINGÚN otro. Ahora, fija $n$ y que $I$ se extienden sobre todo conjunto de índices finitos que incluyen $n$ . ¿Cómo llega algo a uno de estos conjuntos? Bueno, tiene que estar en $A_n$ ya que sólo estamos tomando conjuntos de índices que incluyen n, por lo que tenemos que su unión es un subconjunto de $A_n$ Así que, la única pregunta es, ¿se pierde algo de $A_n$ ? La respuesta es no, porque si $a\in A_n$ habrá algún conjunto de índices $I$ que $a\in C_I$ .

Sinceramente, la razón de este último paso se me escapa, ¡pero empecé a escribir antes de tener la respuesta definitiva! Espero que te llegue a ti, a mí o a alguien más en breve.
Sin embargo, el método de prueba general consiste en tratar de demostrar que ambos conjuntos son subconjuntos del otro cuando se trata de demostrar una igualdad de conjuntos complicada, y así ver cómo entran las cosas en cada uno.

Answer 3

Pero, entonces, ¿cómo puedo entender y calcular $\bigcup_{n\in I} C_I$ en esta situación?

No, $n$ es una variable libre en la secuencia de unión requerida; no está ligada como una "variable ficticia".   El intervalo $I$ es la variable ficticia en este caso.

Quiere la unión de todos $C_I$ para todos los intervalos finitos $I$ que contienen un determinado $n$ .

$$\bigcup_{I\ni n: |I|<\infty} C_I \quad=\quad C_{\{n\}} \cup C_{\{1, n\}} \cup C_{\{2,n\}} \cup\cdots\cup C_{\{1, 2, n\}}\cup\cdots$$

Demuestre que para eso $n$ esto es igual a $A_n$ .