¿Qué es precisamente una verdad vacía?

Question

¿Existe una definición adecuada y precisa que diga algo así?

Definición. Una declaración $S$ es un la verdad vacía si ... ...

Answer 1

No. La frase "vacuamente verdadero" se utiliza informalmente para afirmaciones de la forma $\forall a \in X: P(a)$ que resultan ser ciertas porque $X$ está vacío, o incluso para declaraciones de la forma $\forall a \in X: Q(a) \to P(a)$ que resultan ser ciertas porque no $a \in X$ satisface $Q(a)$ . En ambos casos, es irrelevante qué declaración $P(a)$ es.

Supongo que se podría convertir esto en una definición formal de una propiedad del enunciado, pero eso no es estándar.

Answer 2

Decimos que una implicación $p\to q$ se mantiene vacía si $p$ es siempre falso. Es decir, es imposible tener $p$ verdadero y $q$ falso. Así que la implicación es una tautología.

Por supuesto, las tautologías existen en el cálculo proposicional, y no del todo en la lógica de predicados (y, por tanto, no en la lógica de primer orden), pero el concepto se traslada.

Así que cuando decimos que el conjunto vacío es un subconjunto de $A$ es vacuamente cierto, decimos que simplemente no hay ningún contraejemplo en sentido contrario. ¿Por qué es cierto? Porque el conjunto es vacío.

Answer 3

No estás "solo" con tu duda sobre $\emptyset$ ; ver el "debate" en este Correo electrónico: .

Hay que "trabajar" con la respuesta de Asaf: básicamente, tenemos la definición de $\emptyset$ y el de la inclusión :

$A \subseteq B =_{def} \forall x (x \in A \rightarrow x \in B)$ .

Tenemos también un "principio básico" del razonamiento matemático (pero no sólo) : "quédate con las consecuencias de tus suposiciones, incluso cuando sean (un poco) contraintuitivas, a menos que hayas encontrado una contradicción (o una teoría más satisfactoria)".

Intentemos el "ejercicio" de negar la definición de conjunto-inclusión : de $\lnot \forall x (x \in A \rightarrow x \in B)$ debido al hecho de que $\lnot \forall$ equivale a $\exists \lnot$ y que $p \rightarrow q$ equivale a $\lnot p \lor q$ podemos "traducir" la fórmula anterior en : $\exists x \lnot (\lnot x \in A \lor x \in B)$ .

El último pasaje es con De Morgan, es decir: $\lnot (p \lor q) \equiv (\lnot p \land \lnot q)$ y la doble negación, es decir $\lnot \lnot p \equiv p$ . Así, podemos transformar la fórmula anterior en $\exists x (x \in A \land \lnot (x \in B))$ .

Ahora lo aplicamos con $\emptyset$ en lugar de $A$ :

$\exists x (x \in \emptyset \land x \notin B)$ .

¿Qué significa? Que existe un objeto $x$ que pertenece a $\emptyset$ y ...

Pero tenemos no elementos en $\emptyset$ Así, la "supuesta" negación de $\emptyset \subseteq A$ debe ser siempre falso.

Esta es la "razón" $\emptyset$ es un subconjunto de cada conjunto.

En el argumento anterior hemos utilizado las reglas de la lógica: algunas de ellas son "rechazadas" por algunos (pocos) matemáticos. Usted puede no aceptar algunas (todas) de ellas : es su decisión; de esta manera puede intentar "escapar" de la afirmación de la propiedad no deseada del conjunto vacío...

Answer 4

No estoy seguro de que esto sea tan formal como quieres, pero podría ser un paso hacia una formalización.

En general, lo veo así:

A statement S is a vacuous truth if ...

S es formalmente verdadero, pero no transmite ninguna información .

El ejemplo que me gusta para los profanos es el chiste de "Eres mi sobrino favorito" que dice una persona con un solo sobrino. La gente lo entiende; lo que lo hace gracioso es que es cierto, pero no significa nada. (Por ejemplo, esta afirmación también sería cierta: "Eres mi sobrino menos favorito").

Para formalizarlo un poco, puedes definir favorito de la siguiente manera: "Enumera a todos tus sobrinos por orden de preferencia, primero el de mayor preferencia. El primer sobrino de la lista es tu favorito". Entonces, en una lista de uno, ese es el favorito. Del mismo modo, "Enumera a todos tus sobrinos por orden de preferencia, primero el de mayor preferencia. El último sobrino de la lista es tu menos favorito".

La tía no miente: tiene toda la razón, por definición, al afirmar que el sobrino es su favorito. Sin embargo, diríamos que su afirmación "no nos dice nada". En este caso, no nos dice nada porque no tiene más sobrinos. Lo que el sobrino quiere pensar es "hay alguien por ahí a quien ella me considera superior", pero lo que resulta es que el razonamiento del sobrino se refiere a un conjunto vacío: el conjunto de sobrinos que le gustan menos que él.

A partir de ahí, puede que consigas que alguien vea la (vacua) verdad de "Toda persona que ha caminado sobre la superficie del sol ha sobrevivido". Formalmente, es exacto. También es formalmente exacto decir "Toda persona que ha caminado sobre la superficie del sol murió instantáneamente". Aunque ambas afirmaciones son formalmente verdad, no transmiten ninguna información.

Tal vez sea demasiado restrictivo decir S sólo nos habla de los miembros del conjunto vacío -porque S podría no decirnos "cosas", o quizás no cosas "sobre los miembros" de cualquier conjunto- pero eso describiría, creo, una clase o colección de afirmaciones vacuamente verdaderas.

Answer 5

Un implicación se dice que vacuamente cierto si su antecedente es falso.

$$\neg A \implies (A\implies B)$$

Este principio lógico es una tautología, y puede utilizarse para introducir un consecuente arbitrario en una implicación.

Ejemplo 1 : Si los cerdos pueden volar, entonces el Presidente es un genio.

Prueba: El antecedente, "los cerdos pueden volar", es falso. Por lo tanto, la implicación anterior es verdadera, sea o no verdadero el consecuente "el Presidente es un genio". Nota: No podemos inferir de esto que el Presidente no es un genio. Tampoco podemos inferir lo contrario, que él es un genio.

Ejemplo 2: $\forall x: (x\in \emptyset \implies 0=1)$

Prueba: $y\in \emptyset$ es siempre falso. Entonces la implicación $y\in \emptyset \implies 0=1 $ es cierto (vacuamente). Generalizando, obtenemos lo necesario: $$\forall x: (x\in \emptyset \implies 0=1)$$