Esquemas no singulares/normales

Question

Siempre tuve problemas para recordar esto. ¿Es cierto que una curva sobre un campo no algebraicamente cerrado es normal implica que no es singular? ¿Qué tal un esquema unidimensional? ¿Qué tal la dimensión 2? Creo que una vez escuché que las superficies sobre un campo no cerrado algebraicamente son normales, implica que no es singular. ¿Es cierto para los esquemas bidimensionales? ¿Cuál es la razón por la que estos teoremas son ciertos para dimensiones pequeñas, pero fallan para dimensiones más altas?

Answer 1

Hay dos pruebas muy buenas de "normal implica regular en codimensión 1" en la sección 1.4 de "Lectures on Resolution of Singularities", de Kollar. Se dice que una es la prueba más motivada que Kollar puede dar, la otra la más astuta.

Answer 2

Estimado Randy, aquí hay un eslogan breve y fácil de recordar:

Normal no implica no singular, excepto en la dimensión uno, donde sí lo es.

(Detalles en Hartshorne, Atiyah-MacDonald Prop.9.2 y todas las demás buenas respuestas a su pregunta)