Para qué enteros positivos a, b, c y d, donde $c \le d$ hace el límite como $\begin{pmatrix} x\\ y\\ \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ \end{pmatrix}$ de
$$\frac{x^ay^b}{x^{2c}+y^{2d}} \quad \text{exist?}$$
Se trata de una pequeña modificación del problema 1.5.24 de la página 104 de Hubbard & Hubbard Cálculo vectorial, álgebra lineal y formas diferenciales: Un enfoque unificado (5ª edición, ISBN 9780971576681, publicada por Matrix Editions). H & H dice que a, b, c y d son enteros no negativos y no especifica $\,$ $c\le d$ pero $c\le d$ puede ser asumido sin pérdida de generalidad, y si permitimos que cualquier exponente sea 0 hay un montón de casos triviales que tratar, todos los cuales puedo resolver.
Esto es lo que he probado hasta ahora:
1) $\,$ Si $\,a \gt c \,$ y $\, b \gt d\,$ el límite es 0. $\,$ Pero no sé qué pasa en general si $ \,a \le c \,$ o $ \,b \le d$ .
2) $\,$ Si $a \gt 2c \,$ o $\, b \gt 2d\,$ el límite es 0. $\,$ Pero no sé qué pasa si $\, a \le 2c \,$ y $\,b \le 2d$ .
3) $\,$ Si $ \,a+b \le 2c \,$ el límite no existe, y si $\, a+b \gt 2d \,$ el límite es 0. $\,$ Pero no sé qué $\quad$ sucede si $\, 2c \lt a+b \le 2d$ .
4) Si $\,ad + cb \le 2cd \,$ el límite no existe, lo que implica que si $\,a \le c \,$ y $\, b \le d \,$ entonces el límite $\quad$ tampoco existe. $\,$ Pero no sé qué pasa si $ \,ad + cb > 2cd$ .
Dado que en este punto del libro H & H ni siquiera han definido las derivadas parciales, espero una demostración que no requiera nada más que el cálculo AP BC y las definiciones básicas de límite y las propiedades de los límites de las funciones de $R^n$ en $R^m$ . Pero cualquier prueba o ayuda será muy apreciada.
Gracias.
