¿La composición adecuada de funciones cóncavas y convexas es convexa?

Question

Dejemos que $f:[0,1]\to[0,1]$ sea una función continua cóncava estrictamente creciente con $f(0)=0$ y $f(1)=1$ . Sea $g$ sea la inversa de $f$ . Entonces $g$ es estrictamente creciente y convexo.

Parece que la función $h(x)=f(\frac12g(x))$ es siempre convexo. ¿Es esto cierto? Si es así, ¿por qué?

Answer 1

Si $g(x) = y$ Me sale $$ h''(x) = \dfrac{f''(y/2) f'(y) - 2 f'(y/2) f''(y)}{4 f'(y)^3} $$ por lo que para $h$ para ser convexo requiere $$ \dfrac{f''(y/2)}{f'(y/2)} \ge 2 \dfrac{f''(y)}{f'(y)}$$ Como contraejemplo, tomemos $f$ que es estrictamente cóncavo en $[0,1/2]$ pero lineal en $[1/2, 1]$ , de modo que si $1/2 \le y < 1$ tenemos $f''(y) = 0$ pero $f''(y/2) < 0$ .

Answer 2

Para demostrar que $g$ es creciente, suponga por el contrario que existe $x,y\in I$ tal que $x<y$ pero $g(x)>g(y)$ . Desde $f$ está aumentando y $g(x),g(y)\in[0,1]$ entonces $f(g(x))>f(g(y))\Rightarrow x>y$ que es una contradicción.

Ahora vamos a probar la segunda parte. Sea $x,y\in I$ y poner $t=g(x),\:s=g(y)$ . Por concavidad de $f$ tenemos $$f(\lambda t+(1-\lambda)s)\geq\lambda f(t)+(1-\lambda)f(s)\Rightarrow g\Big(f(\lambda t+(1-\lambda)s)\Big)\geq g\big(\lambda f(t)+(1-\lambda)f(s)\big) \text{(remember g was increasing )}$$ Así, $\lambda t+ (1-\lambda)s\geq g(\lambda x+(1-\lambda)y))$ es decir $\lambda g(x)+(1-\lambda )g(y)\geq g(\lambda x+(1-\lambda)y))$ . Hecho. No estoy asumiendo que $f\in C^1.$