En nuestro curso, demostramos que esta desigualdad funciona para integrales definidas de funciones de valor real. ¿Cómo demostramos que la desigualdad sigue siendo cierta para funciones de valor complejo? ¿Es posible construir una prueba sin recurrir al análisis de la complejidad? Es decir, por supuesto, los números complejos y sus propiedades básicas son bien conocidos, pero la teoría de la integración de funciones de valor complejo no se ha tratado todavía.
Respuesta
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user142385
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Idea general: si $f$ es de valor complejo, entonces $f=f_1+if_2$ con $f_1,f_2$ valorado realmente. Definir $\int_a^{b} f(x) \, dx $ como $\int_a^{b} f_1(x) \, dx +i\int_a^{b} f_2(x) \, dx $ . Utilizando las sumas de Riemann y el hecho de que $|a+b| \leq |a|+|b|$ para dos números complejos cualesquiera $a$ y $b$ puede demostrar que $|\int_a^{b} f(x) \, dx| \leq \int_a^{b} |f(x)| \, dx$ . Una vez que tengas esto puedes aplicar C-S para funciones reales para obtener C-S para funciones complejas.
