Funciones analíticas no nulas en el anillo

Question

Dejemos que $f$ sea analítico y no sea cero en ninguna parte de $0<|z|<1$ . Demostrar que $f(z)=z^n \exp(g(z))$ para algún número entero $n$ y $g$ analítica en $0<|z|<1$ .

Answer 1

$\ln f$ se define localmente en $0<|z|<1$ como $\ln f = \ln |f| + i \arg f$ para alguna rama de $\arg f$ . La cuestión es si tenemos o no una única rama valorada de $\ln f$ en el anillo $0<|z|<1$ . Debemos comprobar que la continuación analítica a lo largo de cada camino cerrado (simple) vuelve a la rama original. Cualquier camino de este tipo es homotópico a un camino constante (nada de lo que preocuparse) o a un círculo alrededor del origen. La continuación analítica a lo largo de un círculo de este tipo da como resultado la rama original más $+2\pi i n$ para algunos $n\in\mathbb Z$ debido a la mencionada conexión con el argumento. Si $n\ne 0$ estamos en problemas. Para salir de los problemas, aplique lo anterior no a $f$ sino a su producto con una potencia adecuada de $z$ .