Cómo demostrar que $U_{2^n}$ es isomorfo como grupo a $\mathbb Z_2 \times \mathbb Z_{2^{n-2}}$ para $n \ge 3$ ?

Question

Cómo demostrar que $U_{2^n}$ es isomorfo como grupo a $\mathbb Z_2 \times \mathbb Z_{2^{n-2}}$ para $n \ge 3$ ?

Answer 1

Pista : Demuestre que para $n \geq 3$ , $5$ tiene orden $2^{n-2}$ argumentando lo siguiente: por inducción, se puede demostrar que $5^{2^{n-3}} \equiv 1 + 2^{n-1}$ mod $2^{n}$ . Ahora sabes que $-1 \equiv 2^{n}-1$ tiene el orden 2. Usando esto, se puede demostrar que cada elemento se puede escribir de forma única como $(-1)^{a}5^{b}$ , donde $a \in \lbrace 1,0\rbrace$ y $0 \leq b <2^{n-2}$ . Entonces se construye un isomorfismo, enviando $(-1)^{a}5^{b} \to (a,b) \in \mathbf{Z}/2\mathbf{Z} \times \mathbf{Z}/2^{n-2}\mathbf{Z}$

Answer 2

Usted demuestra que $5$ tiene orden $2^{n-2}$ por inducción.