¿Por qué Mathematica da 1, 1/2, -1/8 y no 1, -1/2, 3/8 para ${1/2 \choose 0}, {1/2 \choose 1}, {1/2 \choose 2}$

Question

$\binom{-1/2}{n}=\left (\frac{1}{n!}\right )\left (\frac{-1}{2}\right )\left (\frac{-3}{2}\right )\dots\frac{-(2n-1)}{2}=(-1)^n\frac{(2n-1)!!}{2n!!}$

Los tres primeros valores son 1, -1/2, 3/8.

binom[n_] := Binomial[1/2, n]
Table[binom[i], {i, 0, 2}]

{1, 1/2, -(1/8)}

Según la documentación:

En general, (n m) se define por $\Gamma$ (n+1)/( $\Gamma$ (m+1) $\Gamma$ (n-m+1)) o límites adecuados de esto.

Sin embargo, ${-1/2 \choose 1}$ = Gamma[1/2]/(Gamma[2] Gamma[-1/2]) da el valor correcto: -(1/2) ¿Es un error?

Answer 1

Por definición, $$\binom{1/2}{0}=1 \qquad \binom{1/2}{1}=\frac{1/2}{1}=\frac{1}{2} \qquad \binom{1/2}{2}=\frac{(1/2)\cdot(1/2-1)}{2!}=-\frac{1}{8}$$ mientras que $$\binom{-1/2}{0}=1 \qquad \binom{-1/2}{1}=\frac{-1/2}{1}=-\frac{1}{2} \qquad \binom{-1/2}{2}=\frac{(-1/2)\cdot(-1/2-1)}{2!}=\frac{3}{8}$$