La segunda forma fundamental en un submanifiesto

Question

Dado $M$ una variedad riemanniana con métrica la conexión levi-civita $\nabla$ , $N$ submanifold incrustado de $M$ y campos vectoriales $X$ , $Y$ en $N$ , defina $f(X,Y)$ para ser la proyección ortogonal de $\nabla_{\bar Y}\bar X$ en el complemento ortogonal de $TN$ , donde $\bar X$ y $\bar Y$ son extensiones de $N$ .

Me pregunto si esto está bien definido. En primer lugar, no tengo ni idea de si siempre es posible extender los campos vectoriales desde una submanifold incrustada. En segundo lugar, no sé por qué la definición es independiente de las extensiones de $Y$ .

PARA LA PRIMERA PREGUNTA: Sé que siempre es posible extender a partir de un submanifold correctamente incrustado. ¿Qué pasa entonces con los submanifoldes empotrados arbitrarios?

PARA LA SEGUNDA PREGUNTA: Sé que $\nabla$ sólo se preocupa por los datos locales de $Y$ pero aquí se extiende desde $N$ no nos garantiza datos locales (no hay ningún barrio de $M$ contenida en $N$ , si $N$ tiene una dimensión estrictamente menor).

Answer 1

No sé muy bien a qué te refieres con la cuestión de incrustado vs. propiamente incrustado. Para un submanifold incrustado $N\subset M$ Siempre hay que tener cartas locales $(U,u)$ tal que $u(U\cap N)$ es la intersección de $u(U)$ con un subespacio lineal de $\mathbb R^n$ . Bajo estos supuestos, ciertamente se puede extender un campo vectorial local en $N$ definido en $U\cap N$ a un campo vectorial local en $M$ definido en $U$ que ciertamente es suficiente para lo que usted necesita.

En cuanto a la cuestión de estar bien definido, la situación es muy sencilla en una variable. El hecho de que $(\bar X,\bar Y)\mapsto \nabla_{\bar Y}\bar X$ es lineal sobre funciones suaves en la segunda variable implica fácilmente que para cualquier punto $x$ los valores $\nabla_{\bar Y}\bar X(x)$ depende sólo de $\bar Y(x)=Y(x)$ . En la otra variable se necesita un argumento adicional. Ha asumido desde el principio que $Y$ y $X$ son tangentes a $N$ . En particular, esto implica que para cualquier extensión local $\bar Y$ de $Y$ cualquier línea de flujo de $\bar Y$ que comienza en un punto de $N$ permanece en $N$ . Así, se puede invocar otro hecho bien conocido sobre las conexiones lineales (que se utiliza, por ejemplo, para definir las derivadas covariantes a lo largo de las curvas): El valor $\nabla_{\bar Y}\bar X(x)$ depende únicamente de los valores de $\bar X$ a lo largo de la línea de flujo de $\bar Y$ a través de $x$ . Ya que para $x\in N$ que la línea de flujo permanece en $N$ La restricción de $\bar X$ a la línea de flujo es independiente de la extensión.