Investigación en topología algebraica

Question

He empezado a estudiar topología algebraica con la ayuda de Armstrong(Basic), Massey y Hatcher. Si pienso investigar en topología algebraica en el futuro:

1. ¿Qué más debería estudiar después de completar homología(básica), cohomología(básica) y teoría de la homotopía(básica)?

2. Después de terminar Hatcher, ¿qué tan lejos estaría (en términos de tiempo y esfuerzo) de abordar un problema de investigación?

   Tengo una formación media en álgebra y nunca he estudiado en detalle la teoría de las categorías, pero me siento cómodo trabajando con el álgebra. Me gustaría trabajar en aquellas áreas que requieren más maquinaria algebraica que cualquier otra área y que son más geométricas.

3. ¿Existen otras áreas a las que debería dirigirme como la topología geométrica o la geometría algebraica?

Answer 1

Permítame intentar responder a esta pregunta. Debo mencionar que No soy un topólogo algebraico de investigación . De hecho, soy estudiante de topología algebraica y espero convertirme algún día en investigador en el área. Actualmente me encuentro en el camino hacia este objetivo.

Permítanme comenzar diciendo que definitivamente están en el camino correcto al leer el libro de texto de Hatcher. Creo que los temas más fundamentales de la topología algebraica están cubiertos en el libro de texto de Hatcher y el conocimiento de estos temas le será muy útil como matemático investigador, independientemente del área de las matemáticas en la que se especialice. Asumiré que ha completado el libro de Hatcher y que está interesado en otros temas de topología algebraica.

Creo que el siguiente paso en topología algebraica (suponiendo que hayas estudiado también el capítulo 4 del libro de Hatcher sobre teoría de la homotopía) es estudiar haces vectoriales, teoría K y clases características . Creo que hay muchos libros de texto excelentes sobre este tema.

Mi libro favorito de teoría K es "Teoría K" de Michael Atiyah aunque algunos se oponen porque consideran que la prueba de la periodicidad de Bott en este libro no es muy intuitiva, sino más bien larga y complicada (y estoy de acuerdo). Sin embargo, si se lee este libro se puede asumir la periodicidad de Bott por fe, ya que las técnicas utilizadas para demostrar la periodicidad de Bott no se utilizan ni se mencionan en ninguna otra parte del libro (aunque algunas excepciones menores pueden demostrar que esta afirmación es falsa). Creo que una prueba muy hábil de la periodicidad de Bott se discute en el documento "Periodicidad de Bott a través de espacios simplificados", por Bruno Harris . Te recomiendo que leas este artículo si estás interesado en una prueba de la periodicidad de Bott.

También puede aprender de El libro de texto de Hatcher titulado "Vector Bundles and K-theory" (disponible gratuitamente en línea en su página web) o el libro de texto de Max Karoubi titulado "K-teoría: Una introducción" . En el libro de Hatcher se habla de la imagen del homomorfismo J (en la teoría de la homotopía estable), que es una aplicación importante e interesante de la teoría K. Creo que esto no se discute en el libro de Atiyah. Del mismo modo, Hatcher tiene una descripción más detallada del problema de la invariante de Hopf que la del libro de Atiyah. Por lo tanto, un buen plan sería leer el libro de texto de Atiyah y complementarlo con una lectura del problema de la invariante de Hopf y el homomorfismo J en el libro de Hatcher. Como alternativa, podrías leer el libro de Karoubi, que es mucho más extenso que los dos (combinados) pero que también es un excelente libro de texto.

Si aprendes muy bien los haces vectoriales y la teoría K, entonces deberías aprender también la teoría de las clases características. Creo que esto se discute con cierto detalle en el libro de Hatcher (el mismo titulado "Vector Bundles and K-theory") y se demuestran las propiedades más básicas de las clases características. Sin embargo, se puede encontrar una discusión más detallada de las clases características en el libro titulado "Clases características" de Milnor y Stasheff . Yo recomendaría la lectura de este último libro si se dispone de tiempo y se desea aprender sobre las clases características con bastante profundidad. De lo contrario, el tratamiento mínimo de las clases características en el libro de Hatcher también es suficiente a corto plazo.

Un buen tema para aprender en esta etapa es secuencias espectrales . Las secuencias espectrales proporcionan una herramienta computacional extremadamente útil y eficiente en topología algebraica. No puedo recomendar el un buen libro sobre secuencias espectrales porque hay muchos, pero tal vez desee consultar "Guía del usuario de secuencias espectrales", por John McCleary y El libro de Hatcher sobre secuencias espectrales (disponible gratuitamente en línea en su página web).

Por último, ahora debes aprender la teoría de la homotopía en mayor profundidad. Un lugar excelente para hacerlo es "Homotopía estable y homología generalizada" por Frank Adams . Desgraciadamente, esto es lo máximo que puedo aconsejarte porque es lo máximo que he avanzado en topología algebraica. Creo que una vez que termines el libro "Stable Homotopy and Generalized Homology" de Frank Adams el siguiente paso podría ser empezar a leer artículos de investigación (que tarde o temprano tienes que hacer). Por supuesto, los consejos sobre la lectura de artículos de investigación matemática son largos y complicados, así que no entraré en detalles en esta respuesta, ya que estamos hablando de topología algebraica. Pero, los libros que he sugerido deberían mantenerte ocupado al menos a corto plazo.

Espero que esto ayude.

Answer 2

Amitesh Datta ya ha dado una buena lista de próximos libros de texto, que incluyen temas muy extendidos tanto en la topología algebraica como en campos cercanos.

La topología algebraica es un gran tema. Una vez superados estos textos, tienes que elegir la dirección que te interesa seguir, porque no es factible seguir todas. La mayoría de las direcciones requerirán una inversión de tiempo antes de que sepas qué problemas de investigación están disponibles y son factibles (para eso está un asesor). Muchas de estas direcciones no tendrán libros de texto y tendrás que hacer incursiones en la literatura.

Esto no es algo malo. Steenrod supuestamente dijo:

En tus estudios de grado las matemáticas que has leído han sido sido principalmente en libros de texto. Pero ahora está preparado para leer artículos originales artículos originales: los artículos son matemáticas vivas, y los libros de texto son matemáticas muertas. matemáticas muertas. Debes leer artículos originales, aunque sean más difíciles y no estén tan bien escritos.

(La única fuente que he encontrado en Internet para esta cita es aquí .)

La lista de documentos recomendados para el Seminario de Kan en el MIT es una colección de trabajos que, por sus resultados o sus métodos, han sido especialmente influyentes. Algunos de los métodos y el lenguaje de estas obras se pueden reformular en términos más modernos; hacerlo es un buen ejercicio. Algunos de ellos tienen visiones sorprendentemente modernas. Algunos de ellos conducen a temas de investigación bien conocidos, pero otros han dado lugar a nuevos temas por derecho propio que siguen activos.

Las matemáticas son una materia humana, y la distribución de parte de la lista del seminario Kan es particular de la cultura de la topología algebraica en el MIT. Sin embargo, es un buen punto de partida. Encuentre allí algo que le abra el apetito; vaya a MathSciNet y busque artículos recientes que hagan referencia a ellos; vaya al arXiv; encuentre a alguien que pueda ayudarle a entender cuál es el estado del arte o dónde encontrarlo; buena suerte.

Answer 3

Amitesh ya ha dado una excelente respuesta. Continuando con el "libro azul" de Adams (que debería empezar en el capítulo 3, y déjalo cuando llegues a los productos de choque), yo recomendaría encarecidamente "Homotopía y Homología" de Switzer (o algo así). Este libro "empieza desde el principio", pero reconstruye toda la historia con un lenguaje y una tecnología mucho más maduros y llega bastante lejos. (Aunque también hay que saltarse su capítulo sobre productos.) ¡Y cuando termines, estaré encantado de darte más sugerencias a partir de ahí!

Answer 4

A pesar de tus comentarios en el OP, creo que deberías considerar aprender la Teoría de Categorías básica. La teoría de categorías es crucial para la mayor parte de la topología, y la falta de conocimiento de la teoría de categorías paralizará seriamente tu capacidad para hacer problemas topológicos y comunicarte con otros topólogos.

Categorías para el matemático que trabaja por Mac Lane, Notas de la conferencia de Schapira y Categorías y gavillas de Kashiwara y Schapira son buenos recursos para ello.

Answer 5

Ahora que se han cubierto los fundamentos de la topología algebraica, si se quiere profundizar en el tema con fines de investigación se puede utilizar la teoría de los nudos, los manifiestos, la teoría de la homología, la teoría K, etc.