Ecuación diferencial mediante la transformada de Laplace

Question

Resolver $y'+4y+5\int_0^xydx=e^{-x}$ , $y(0)=0$

Me piden que resuelva el siguiente problema utilizando las transformadas de Laplace. Sé cómo resolverlo utilizando el método regular, pero no estoy seguro de cómo resolverlo a través del método de Laplace y realmente apreciaría un poco de ayuda.

Si derivamos la expresión entonces obtendremos

$y''+4y'=-e^{-x}-5x$

Ahora podemos aplicar la transformada de Laplace.

$L[y'']+L[4y']=L[-e^{-x}]+L[-5x]$

Sabemos que

$L[y']=pL[y]-y(0)$ y $L[y'']=p^2L[y]-py(0)-y'0$

$L[e^{-x}]=-\frac{1}{p+a}$ y $L[-5x]=-5L[x]=\frac{-5}{p^2}$

Combinando todo lo anterior se obtiene

$p^2L[y]-py(0)-y'0+4(pL[y]-y(0)=-\frac{1}{p+a}-\frac{5}{p^2}$

A partir de aquí no sé muy bien cómo simplificar y también qué es $y'(0)=0$

Answer 1

Definir $Y(s)=\mathcal{L}_x\{y\}(s)$ para ser la transformada de Laplace de $y$ . Tomando la transformada de Laplace de la ED se obtiene, $$sY(s) - y(0) + 4Y(s) + \frac{5}{s}Y(s) = \frac{1}{s+1}\;.\tag{1}$$ Tras una gimnasia algebraica podemos obtener una expresión para $Y$ , $$Y(s)=\frac{s}{s^3+5s^2+9s+5}\;.\tag{2}$$ Tomando la transformada inversa de Laplace se obtiene un resultado no muy bonito (he utilizado Mathematica para ello): $$y(x)=-\frac{e^{-x}}{2} - \left(\frac{1}{4} + \frac{i}{4}\right) e^{(-2 - i)x} \left((-2 - i) + (1 + 2 i) e^{2 i x}\right)\tag{3}$$ Esto puede parecer aterrador al principio, pero si eres lo suficientemente inteligente, entonces verás que puedes reescribir esto en términos de seno y coseno usando $\sin(x)=\frac{i}{2}(e^{-ix}-e^{ix})$ y $\cos(x)=\frac{1}{2}(e^{-ix}+e^{ix})$ para conseguirlo, $$y(x)=\frac{1}{2} e^{-2x}\left(3\sin(x)+\cos(x)-e^x\right)\;.\tag{4}$$ Al conectar esto a la ED original se comprueba que es la solución. En retrospectiva, es probable que pueda utilizar fracciones parciales en la ecuación $(2)$ para evitar mi ruta de Mathematica para encontrar la transformada inversa de Laplace.

Nota tomando su método evaluando primero la derivada de la ecuación diferencial para obtener la nueva ecuación de segundo orden $$y''+4y'+5y=-e^{-x},\quad y(0)=0,\quad y'(0)=1$$ donde $y'(0)$ se encuentra al introducir $x=0$ en la ecuación original (ver comentarios en el post anterior) y luego tomar la transformada de Laplace de esta DE de segundo orden acaba dando la misma respuesta.