Cuál es el límite de esta secuencia

Question

Si $x_n$ es una secuencia de números reales mayores que 1 y $\lim_{n \to \infty} x_n \geq 1$ . ¿Podemos determinar el límite de $x_n$ si sabemos que $\lim_{n \to \infty} x_n^n = 1$ ? Si no, ¿qué condiciones podemos añadir para poder determinar el límite?

Answer 1

$\lim_{n\rightarrow \infty}x_n = 1$ . Desde $x_n\geq1,\forall n\geq 1$ tenemos $x^n_n\geq x_n$ Por lo tanto $\lim x_n^n\geq \lim x_n \geq 1$ , lo que implica $\lim x_n=1$ .

Answer 2

Hay demasiadas hipótesis innecesarias en esta pregunta. Dejemos que $\{x_n\}$ sea cualquier secuencia de números reales tal que $x_n^{n} \to 1$ . Entonces $x_n >0$ después de alguna etapa . Tomando el logaritmo obtenemos $nlog \, x_n \to 0$ . Desde $\log x_n =\frac 1 n log x_n$ obtenemos $\lim \log \, x_n=0$ o $\lim x_n=1$ .

Answer 3

Como $\lim_{n \to \infty} x_n^n = 1$ tenemos $x_n^n < 2$ para que sea lo suficientemente grande $n$ Así que $x_n < \sqrt[n]{2}$ . También $x_n \geqslant 1$ . Como $\sqrt[n]{2} \to 1$ y $1 \to 1$ por el teorema de squeeze tenemos $x_n \to 1$ .