¿Cómo existen las funciones inversas para las funciones exponenciales?

Question

Sé que existen para las funciones exponenciales (actualmente las tenemos en clase), pero a mí no me parece "razonable" cuando miro la definición de lo que es una función inversa. La inversa se define como una función en la que puedes intercambiar $x$ y $y$ y luego resolver para $y$ y la notación es $\operatorname{f^{-1}}(x)$ . Dado que las funciones son un mapeo de 1 a 1, esto sólo puede ser cierto para algunas funciones. En el libro de texto que utilizamos tenemos la siguiente definición para el dominio de las funciones/funciones inversas:

$$\mathbb{D}_{f} = \mathbb{W}_{f^{-1}} \rightleftharpoons \mathbb{W}_{f} = \mathbb{D}_{f^{-1}}$$

También entiendo que algunas funciones no tienen inversos o que sólo existen para un dominio restringido (como $x^2$ donde hay que restringir el dominio, o algunas funciones donde no se puede resolver para $x$ ).

Lo de como ejemplo $2^x$ que me echa para atrás es que el dominio de entrada $\mathbb{D}$ se compone de todos los números reales, mientras que la salida se compone sólo de números reales positivos. ¿Cómo puede haber un mapeo de 1 a 1 si la salida consiste sólo en números reales positivos, no hay menos números reales positivos que números reales? Con como ejemplo $x^3$ se agotan todos los $x$ y $y$ valores, por lo que tener una inversa válida tiene un sentido intuitivo para mí. Nos enseñan lo importante que es la unicidad del mapeo entre $x$ y $y$ es, pero se siente mal para las funciones exponenciales.

¿Puede alguien indicarme por dónde empiezo a pensar mal? He resuelto todos los problemas de nuestro libro y de la hoja adicional que nos dio el profesor y sólo he tenido algunos errores (que probablemente se debieron a la falta de sueño). Entender la composición de funciones también me ha resultado bastante fácil, gracias a conocer funciones de orden superior. Estoy muy seguro de que estoy entendiendo mal algo elemental.

Answer 1

Para dar sentido a la situación, tenemos que replantearnos qué significa que dos conjuntos de números tengan "la misma cantidad de elementos".

La función $f(x)=x^3$ , como usted menciona, asocia cada número real $x$ con exactamente otro número real, $y=x^3$ . En este caso, $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ da una correspondencia entre los números reales y ella misma.

Lo importante era que teníamos una correspondencia uno a uno a través de una función. Pero el ejemplo de la exponencial muestra que podemos encontrar una correspondencia entre los números reales y un conjunto diferente, los números positivos $(0,\infty)$ . Para cada número real $x$ lo asociamos al número positivo $2^x$ . La correspondencia inversa, procedente de la función inversa de la función $f(x)=2^x$ es que asociamos cada número positivo $y$ con el número real $\log_2(y)=x$ . Desde $f$ es invertible, cada número real va a uno, único número positivo bajo $f$ y cada número positivo va a un único número real bajo $f^{-1}$ .

Este proceso de encontrar una función invertible entre dos conjuntos de números de forma unitaria es una forma de dar sentido a "tener la misma cantidad de elementos" para dos conjuntos. Este tipo particular de asociación recibe el nombre de cardinalidad.

Una forma diferente de responder a la pregunta podría ser decir que cualquier conjunto con infinitos elementos debería tener "la misma cantidad de elementos". Sin embargo, esta definición no se ajusta al contexto de las funciones invertibles. Por ejemplo, no hay ninguna función invertible de los números naturales $\mathbb{N}$ a los números reales $\mathbb{R}$ que asocia cada número real con un único número natural, aunque ambos sean infinitos. (Podemos enviar fácilmente un número natural $n$ a ese mismo número como elemento de $\mathbb{R}$ pero no hay manera de ir en la dirección inversa de cada número real a un único número natural. Véase el argumento diagonal de Cantor).

El resultado es que las funciones invertibles dan una forma de identificar dos conjuntos, el dominio y el rango de una función invertible (donde aquí por rango me refiero a la imagen de $f$ y no su codominio, ya que la función debe ser lo que llamamos suryectiva). No son el mismo conjunto, pero resulta que tienen una forma de correspondencia entre ellos a través del exponencial/logaritmo. Dos conjuntos tienen la misma cardinalidad cuando hay al menos una función que proporciona dicha correspondencia.

Ahora puedes comparar el ejemplo de los números naturales y los números pares. Los números pares son un subconjunto de los números naturales, pero puedes asociar cada número par con el único número natural que es la mitad de su valor, y cada número natural $n$ con el número par $2n$ . Aquí, la función es $f(n)=2n$ con el inverso $f^{-1}(m)=\frac{m}{2}$ . Un conjunto está dentro del otro, pero resulta que existe una correspondencia a través de la función $f$ entre los conjuntos.