Teoría de Hilbert: validez en campos distintos al complejo

Question

Estaba leyendo el libro de Rudin sobre la teoría elemental del espacio de Hilbert. De entrada restringe el valor de un producto interno a ser un número complejo. Sólo quiero alguna confirmación en cuanto a si todos los teoremas (como la identidad de Parseval) se mantiene si fuéramos a restringe el valor de un producto interno a ser un número real, o cualquier otro campo para el caso, (por ejemplo, campo finito).

Answer 1

La mayoría de los teoremas también son válidos para escalares reales. Una excepción notable es la siguiente: si $T$ es un operador acotado en un espacio de Hilbert complejo tal que $\langle Tx, x \rangle =0$ para todos $x$ entonces $T$ es el operador cero. Esto es falso para escalares reales: basta con considerar la rotación por $90$ grados en el plano. Como se ha señalado en los comentarios, también hay otras excepciones cuando se profundiza en la teoría. Hay libros sobre FA que no asumen que el campo escalar es $\mathbb C$ .