Si $f$ es una función acotada en un intervalo E, y E tiene medida $0$ , Es $f$ ¿se puede medir? ¿Cuál es el valor de $\int_E f$ ?
Tengo la pregunta anterior en Royden Analysis 4e.
La intuición sugiere que f es medible porque E lo es, y que $\int_E f = 0$ porque la integral de Lebesgue ignora los intervalos de medida 0.
Si alguien pudiera mostrarme una prueba más rigurosa, se lo agradecería.
El ejercicio original de Royden es el siguiente:
Dejemos que $E$ tienen medida cero. Demuestre que si $f$ es una función acotada en $E$ entonces $f$ es medible y $\int_E f = 0.$
Dejemos que $F$ sea un subconjunto medible de $\mathbb R$ . Entonces $f^{-1}(F)$ es un subconjunto de $E$ y dado que los subconjuntos de los conjuntos de medida cero tienen medida cero, $f^{-1}(F)$ tiene medida cero. En particular $f^{-1}(F)$ es medible, por lo que $f$ es medible. Ahora modifiquemos la prueba del Teorema 4 de la sección 4.2 (las funciones acotadas medibles sobre un conjunto de medida finita son integrables) para concluir que $\int_E f = 0$ .
Voy a eliminar la restricción de que $E$ es un intervalo, porque de lo contrario será trivial.
Desde $f$ está acotado en $E$ existe $y \geq 0$ tal que $|f\restriction_E(x)| < y$ Así que $|f\chi_E| < y \chi_E$ , donde $\chi_E$ es la función característica de $E$ . Entonces $$ \left| \int_E f\,d\lambda \right| \leq \int \left|f\chi_E \right|\,d\lambda \leq \int y \chi _E\,d\lambda = y\lambda(E) = 0 $$ Desde $\lambda$ es una medida completa, las integradas anteriores son todas integrables.
La mensurabilidad de $f$ no se puede determinar si sólo se sabe que está acotado en $E$ .
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